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22.(8分)(2015•达州)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,B、O在x轴负半轴上,AO=,tan∠AOB=,一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点,反比例函数y=的图象过OA的中点D.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)平移一次函数y=k1x+b的图象,当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时,求b的取值范围.
考点: |
反比例函数综合题.. |
分析: |
(1)连接AC,交OB于E,由菱形的性质得出BE=OE=OB,OB⊥AC,由三角函数tan∠AOB==,得出OE=2AE,设AE=x,则OE=2x,根据勾股定理得出OA=x=,解方程求出AE=1,OE=2,得出OB=2OE=4,得出A、B的坐标,由待定系数法即可求出一次函数的解析式;再求出点D的坐标,代入反比例函数y=,求出k2的值即可; (3)由题意得出方程组 无解,消去y化成一元二次方程,由判别式△<0,即可求出b的取值范围. |
解答: |
解:(1)连接AC,交OB于E,如图所示: ∵四边形ABCO是菱形, ∴BE=OE=OB,OB⊥AC, ∴∠AEO=90°, ∴tan∠AOB==, ∴OE=2AE, 设AE=x,则OE=2x, 根据勾股定理得:OA=x=, ∴x=1, ∴AE=1,OE=2, ∴OB=2OE=4, ∴A(﹣2,1),B(﹣4,0), 把点A(﹣2,1),B(﹣4,0)代入一次函数y=k1x+b得:, 解得:k1=,b=2, ∴一次函数的解析式为:y=x+2; ∵D是OA的中点,A(﹣2,1), ∴D(﹣1,), 把点D(﹣1,)代入反比例函数y=得:k2=﹣, ∴反比例函数的解析式为:y=﹣; (2)根据题意得:一次函数的解析式为:y=x+b, ∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点, ∴方程组 无解, 即x+b=﹣无解, 整理得:x2+2bx+1=0, ∴△=(2b)2﹣4×1×1<0,b2<1, 解得:﹣1<b<1, ∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时,b的取值范围是﹣1<b<1. |
点评: |
本题是反比例函数综合题目,考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识;本题难度较大,综合性强,需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果. |