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24.(9分)(2015•达州)在△ABC的外接圆⊙O中,△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D,F为上﹣
点,且= 连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E.
(1)判断DB与DA的数量关系,并说明理由;
(2)求证:△BCD≌△AFD;
(3)若∠ACM=120°,⊙O的半径为5,DC=6,求DE的长.
考点: |
圆的综合题.. |
分析: |
(1)由CD是△ABC的外角平分线,可得∠MCD=∠ACD,又由∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°,可得∠MCD=∠BAD,继而证得∠ABD=∠BAD,即可得DB=DA; (2)由DB=DA,可得=,即可得=,则可证得CD=FD,BC=AF,然后由SSS判定△BCD≌△AFD; (3)首先连接DO并延长,交AB于点N,连接OB,由∠ACM=120°,易证得△ABD是等边三角形,并可求得边长,易证得△ACD∽△EBD,然后由相似三角形的对应边成比例,求得DE的长. |
解答: |
解:(1)DB=DA. 理由:∵CD是△ABC的外角平分线, ∴∠MCD=∠ACD, ∵∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°, ∴∠MCD=∠BAD, ∴∠ACD=∠BAD, ∵∠ACD=∠ABD, ∴∠ABD=∠BAD, ∴DB=DA; (2)证明:∵DB=DA, ∴=, ∵=, ∴AF=BC,=, ∴CD=FD, 在△BCD和△AFD中, , ∴△BCD≌△AFD(SSS); (3)连接DO并延长,交AB于点N,连接OB, ∵DB=DA, ∴=, ∴DN⊥AB, ∵∠ACM=120°, ∴∠ABD=∠ACD=60°, ∵DB=DA, ∴△ABD是等边三角形, ∴∠OBA=30°, ∴ON=OB=×5=2.5, ∴DN=ON+OD=7.5, ∴BD==5, ∴AD=BD=5, ∵=, ∴=, ∴∠ADC=∠BDF, ∵∠ABD=∠ACD, ∴△ACD∽△EBD, ∴, ∴, ∴DE=12.5. |
点评: |
此题属于圆的综合题,考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键. |