参考答案与评分标准

第一卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1. 已知映射,其中,对应法则若对实数,在集合A中不存在原象,则的取值范围是　　　 (　　 B　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

提示：设,据题意知此方程应无实根

，　 　，故选B

2． 的展开式中的系数为　　　　 (　 B　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

提示：

展开式中的系数为　　 故选B

3.在等差数列中，若，则的值为　 ( C )　　　

　　 A．14　　　　　　　　　　　　 B．15　　　　　　　　　　　　　 C．16　　　　　　　　　　　　 D．17

提示：设等差数列的公差为，　 由等差数列的性质知：

　,选C．

4．已知，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D )

A．　　 　　　　　　　　 B． 　　　　　 C．　　　　　　 　　　　　 D．

提示：由已知得，两边平方得，求得．

或令，则，所以　　

5.设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为( D． )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 　　D．

提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠AOB=120°，∴ A、B两点间的球面距离为×2πR=. 选D．

6．若是常数，则“”是“对任意，有”的　　　　 (A)　　

　　 A．充分不必要条件.　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件.

　　 C．充要条件.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件.

提示：易知对任意恒成立。

反之，对任意恒成立不能推出

　　　　　 反例为当时也有对任意恒成立

“”是“对任意，有的充分不必要条件,选A．

7．双曲线的左、右顶点分别为、，为其右支上一点，且，则等于　　　 (D．)

A．　 无法确定　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

提示：设，，过点作轴的垂线，垂足为，则

　　　　 　　　　( 其中)

设 　　， 则

　　　　 ， 即， 故选　 D．

8．已知直线(不全为)与圆有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有　　　　　　　 (　　 B. )

A.66条　　　　　　　 B.72条　　　　　　　　　　　 C.74条　　　　　　　　　　　　　　 D.78条

提示：先考虑时,圆上横、纵坐标均为整数的点有、、，依圆的对称性知,圆上共有个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有条,故选B.

9. (文科做) 从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为(A )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

提示：应从8名女生中选出4人，4名男生中选出2人，有种选法，故选A．

(理科做)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为(　 A. 　　)

　　　 A．0,27,78　　　　　　　 B．0,27,83

　　　 C．2.7,78　　　　　　　　 D．2.7,83

提示：注意到纵轴表示，

由图象可知，前4组的公比为3，

最大频率，设后六组公差为，则，解得：，

即后四组公差为， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为

(0.27+0.22+0.17+0.12)×100＝78(人).选A.

10.(理科做) 　　　　　(　 D． )

A．　　　　　 　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　 D．

提示：　 故选D．

(文科做)如图,函数的图象是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　 (　　 A.　 )

A.　　　　　

B. 　

C.　　　

D.

提示：由图象知为奇函数知，

原不等式可化为,此不等式的几何含义是的图象在图象下方的对应的的取值集合,将椭圆与直线联立得 ,.

观察图象知故选A.

11．用正偶数按下表排列

则2006在第　　 251　　 行第　 4　 列.

A．第　　 251　　 行第　 3　 列　　　　 　　　 B．第　　 250　　 行第　 4　 列　　

C．第　　 250　　 行第　 3 列　 　　　　　　　 D．第　　 251　　 行第　 4　 列

提示： 每行用去4个偶数，而2006是第2006÷2=1003个偶数

　　　　　　　 　又1003÷4=

　　 前250行共用去250×4=1000个偶数，剩下的3个偶数放入251行，考虑到奇数行所排数从左到右由小到大,且前空一格，

　2006在251行，第4列　　 故选D．

12.半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (C)

　　　 A．8　　　　　　　　　　　　　 B．16　　　　　　　　　　　　 C．32　　　　　　　　　　　　 D．64

提示：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB²+AC²+AD²=(2R)²=64．

　　　 ≤=．

等号当且仅当取得，所以的最大值为32 ，选C．

　 　　　第二卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。

13．(理科做)

答案： 　

提示：

13. (文科做)命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是_________　　　　　　　　　

答案：若不都是偶数，则不是偶数；

14．函数的定义域是　　　　　　　　　　 .

答案：(lg2，+∞)

提示：由已知得，即，所以.

15．定义一种运算“”对于正整数满足以下运算性质：

(1)；(2),则的值是　　　　　　　

答案：

提示：设　 则且

　　　 ，　 即，

16．如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为________.

提示： 两点,关于直线对称,

,又圆心在直线上

原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分，第一、第二、第三小问满分各4分)

已知函数.

(1)求的定义域;

(2)求该函数的反函数;

(3)判断的奇偶性.

解: 　(1)　故函数的定义域是(－1,1)

(2)由,得(R),所以,　　　　

所求反函数为　 (　R).　　　　　　　　　　　　　

(3) ==－,所以是奇函数.

18．(本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)

某港口水的深度 y(米)是时间t(，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：

经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象.

(Ⅰ)试根据以上数据，求出函数的近似表达式；

(Ⅱ)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)．

解：(Ⅰ)由已知数据，易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3, b=10

∴(0≤t≤24)

(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)　

∴

∴　解得，　

在同一天内，取k=0或1　

∴1≤t≤5或13≤t≤17　　

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。

19. (文科做本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；

(2) 第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

解：(1) 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) 第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能的情况种数为．因此所求的概率为

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(理科做本小题满分12分第一、第二小问满分各6分)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望；

(Ⅱ)记“函数f(x)＝x²－3ξx+1在区间[2，+∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

解：(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

为事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P(A₁)=0.4，P(A₂)=0.5，P(A₃)=0.6.

　　　 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.

P(=3)=P(A₁.A₂.A₃)+ P()

= P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1　　　　 3　　 P 0.76 0.24

　　　　　　　 所以的分布列为

　　　 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

(Ⅱ)解法一　 因为

所以函数上单调递增，

要使上单调递增，当且仅当

从而

解法二：的可能取值为1，3.

当=1时，函数上单调递增，

当=3时，函数上不单调递增，

所以

20．(本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)

如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC₁上一点，且BE=BC₁ ．

(1)求证： GE∥侧面AA₁B₁B ；

(2)求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ．

解：(1)延长B₁E交BC于F,　 ∵ΔB₁EC∽ΔFEB,　BE＝EC₁

∴BF＝B₁C₁＝BC，从而F为BC的中点．　　

∵G为ΔABC的重心，∴A、G、F三点共线，且＝　　 ＝，∴GE∥AB₁，

又GE侧面AA₁B₁B， ∴GE∥侧面AA₁B₁B　　　　　　

(2)在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，

∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2，

∴∠B₁BH＝60⁰，BH＝1，B₁H＝．

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T．由三垂线定理有B₁T⊥AF，

又平面B₁GE与底面ABC的交线为AF，∴∠B₁TH为所求二面角的平面角．

∴AH＝AB+BH＝3，∠HAT＝30⁰，　∴HT＝AHsin30⁰＝，

在RtΔB₁HT中，tan∠B₁TH＝＝　，

从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan　

21．(本小题满分14分，第一小问满分4分，第二、第三小问满分各5分)设函数　(a、b、c、d∈R)图象关于原点对称，且x=1时，取极小值

　　 (1)求a、b、c、d的值；

　　 (2)当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

　　 (3)若时，求证：.

解(1)∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立

　，

时，取极小值，解得　

　　 (2)当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且　　　　　 ( *)

、，

此与(*)相矛盾，故假设不成立.

证明(3)，

或，

上是减函数，且　

∴在[－1，1]上，时，

.

22．(本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点.

中学试卷网版权所有

(1)试证明两点的纵坐标之积为定值；

(2)若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出证明.

(1)证明:.设　有，下证之：

设直线的方程为:与联立得

消去得

由韦达定理得　,

(2)解：三条直线的斜率成等差数列，下证之：

设点，则直线的斜率为;

直线的斜率为

又直线的斜率为

即直线的斜率成等差数列.