题目所在试卷参考答案：

(2006.1)数学答案、评分说明

一、选择题(510=50)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	A	C	D	C	D	A	B	C	B

二、填空题(54=20)

11．　　 　　　　　　　12．　　　 c　　　　 (2分)　　　　 　　　b　　　　　 　(3分)

13．　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14．　　　　 ③、④　　　　

三、解答题：(共6小题，共80分)

15．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、．其中，．

(1)求角B的大小；

(2)求+的取值范围．

解：(1)由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

可知，否则有，，　，互相矛盾．　 2分

∴ ，即　　　　　　　　　　　　　　 3分

而，所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∴　 B=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)由正弦定理有，，

∴　　 ，　 ，　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

∴　　　　　　　　　 9分

∵ ，　 ∴　 ，　　 于是，　　　　　　 11分

则+的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　12分

16．(13分)设，函数是奇函数．

(1)求常数的值；

(2)实数，是函数的反函数，解关于的不等式

．

解：(1)为奇函数的充要条件是：对任意，都成立． 1分

4分

即恒成立，

∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

(2) 函数的定义域是R．

可得的值域为．　　　　　　　　　　　　　　 6分

由得， ，从而得到　 8分

则原不等式为　　　

由及函数单调递增知，不等式等价于　 10分

当时，原不等式的解集为；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

当时，原不等式的解集为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

17.(13分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费=基本费 + 超额费 + 定额损耗费．

若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每1付元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．

该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中的数据求、、．

月份	用水量()	水费(元)
1	9	9
2	15	19
3	22	33

解：设月用水量为，当月支付费用为元，则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

由题知，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

从表中知，2月、3月的费用均大于13元，故用水量15、22均大于最低限量，将、分别代入上述(2)可得

　　　　　 解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

　　　　　　　　　 (3)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

若1月份用水量9超过最低限量，即，将代入上述(2)式中得

　　　 得，这与(3)式矛盾.

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　10分

因此1月份的付款应为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　12分

答：略.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

18. (14分)如图，棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=，

平面A A₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=．

(4)　　　 求二面角D–A₁A–C的大小；

(5)　　　 求点B₁到平面A₁ADD₁的距离；

(6)　　　 在直线CC₁上是否存在点P，使BP // 平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

解：(1)在平面ABCD上，AB=BC=CD=DA=2

∴四边形ABCD为菱形

∴BD⊥AC

∵平面A A₁C₁C⊥平面ABCD

∴BD⊥平面A A₁C₁C

设AC∩BD=O，过O作OE⊥AA₁于E点，连结DE，由三垂线定理有，AA₁⊥DE，

则∠DEO为二面角D–A₁A–C的平面角　　　　　　 2分

在菱形ABCD中，AB=2， ∠ABC=　

　∴AC=AB=BC=2　　　　

∴AO=1,　 DO=

在Rt△AEO中，

在Rt△DEO中，

　

　∴∠DEO=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∴二面角D–A₁A–C的大小为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)连结A₁O、A₁B．由于B₁B //平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距离相等，设点B到平面A₁A DD₁的距离等于．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

在△AA₁ O中，

∴　　　　　 ∴A₁O⊥AO

而平面A A₁C₁C⊥平面ABCD　　 ∴A₁O⊥平面ABCD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

由上述第(1)问有，ED ⊥A₁A₁且

∴

又

由有,　　　　　　　　 9分

∴

即点B₁到平面A₁ADD₁的距离等于．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

(3)存在这样的点P．　　 连结B₁C．

∵A₁B₁ABDC　　　　　　 ∴四边形A₁B₁CD为平行四边形　　 ∴A₁D//B₁C　 12分

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连结BP，

因B₁BC₁C　　　　　　　 ∴B₁BCP　　　　　 ∴四边形BB₁CP为平行四边形

∴BP//B₁C　　　　　　 ∴BP//A₁D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

则有BP // 平面DA₁C₁14分

注：本题的侧棱长为2是一个多余的条件，其作为已知可以减少向量坐标解法的运算量。

19.(14分)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM₁⊥轴于M₁，过N作NN₁⊥轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)．

(1)　　　　　　 求曲线C的方程；

(2)　　　　　　 证明不存在直线，使得；

(3)　　　　　　 过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

(1)解：设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为

　 ∴点N的坐标为　　　　　　　　 1分

∴N₁的坐标为　　　　　 ∴　　　　　 2分

由有　　　

∴　　　　　 由此得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

由有

∴　　　　　 即，即为所求的方程．曲线C为椭圆．　　　 4分

(2)证：点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C无交点，所以直线斜率存在，并设为．直线的方程为．　　　　　　 5分

由方程组　　　　 得　　　　　　　 6分

依题意，得．　　　　　　　　　　　　　　　 7分

当时，设交点，PQ的中点为R，则

，　　　　　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

又BR⊥

　　　　　　　　　 9分

但不可能成立，所以不存在直线使得．　　 10分

(3)证明：由题有S，．

则有方程组　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

由(1)得：

将(2)、(5)代入(3)有

整理并将(4)、(5)代入得　　

易知，解得　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

因，故，，

∴

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

20．(14分)数列的各项均为正值，，对任意，，都成立．

(1)　　　 求数列、的通项公式；

(2)　　　 当且时，证明对任意都有成立．

(1)　　　 解：由得，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

数列的各项为正值，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　4分

又

∴数列为等比数列．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

∴，　　 ，即为数列的通项公式． 7分

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(2)设

∴　(1) 10分

当时，，

∴

∴,　　 当且仅当时等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

上述(1)式中，，，全为正，所以

　　 13分

∴　　　　　　　　　　　　　　 14分

得证．