题目所在试卷参考答案：

2004年三月高三第二次联考

数学(理科)参考答案及评分细则

一、AACBC　 CBBCD　 DB

二、13．(2，1，－3，－2)(只要写出的一组值适合条件即可)

　14．36　　　 15．　　 16．

三、17．解：依题意有(……3′

……6′

　　　 ……12′

18．解法1：(1)延长B₁E交BC于F，∽△FEB，BE=EC₁

∴BF=B₁C₁=BC，从而F为BC的中点.……2′

∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线.

　　　 且，又GE侧面AA₁B₁B，∴GE//侧面AA₁B₁B……6′

(2)在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，

∴B₁H⊥底面ABC. 又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，

∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=　在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，

连B₁T. 由三垂线定理有B₁T⊥AF，又平面B₁CE与底面ABC的交线为AF，

∴∠B₁TH为所求二面角的平面角.……9′

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH，

在Rt△B₁HT中，，从而平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的大小为……12′

解法2：

(1)∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，∴∠A₁AB=60°，

　　 又AA₁=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系

　 O-如图.　 则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，A₁(0，0，)，

B₁(0，2，)，C₁(，1，). ……3 ′

∵G为△ABC的重心，∴G(，0，0)，

　　　　　　 ∴E(，1，)　 ∴

又GE侧面AA₁B₁B，∴GE//侧面AA₁B₁B……6′

(2)设平面B₁GE的法向量为　 则由

　 可取……8′　 又底面ABC的法向量为…9′

设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，

则……12′

19．解：(1)当时有：

两式相减得：……3′

　

∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列.

从而　另解：归纳猜想再用数学归纳法证，过

程略，请相应给分.

(2)假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，

只能是，

即……9′ 、、均为正整数，

∴(*)式左边为奇数右边为偶数，不可能成立. 因此数列{}中不存在可以构成等差

数列的三项.……12′

20．解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所

以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁为

1－P(

=1－[1－P(AC)][1－P(CD)][1－P(DB)]

=1－；……2′

同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂为1－P(…3′路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃为1－P(……4′

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.

因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小.……6′

(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为

21．解(1)(方法1)在双曲线上任取不同三点、、设

△ABC的垂心H为.由，

及得：…………①………………2′

同理由…………②…………3′

由①、②解得：.

H点的坐标适合方程，的垂心H也该双曲线上.…………5′

(方法2)求出两条高线方程，解出H坐标，仿上给分.

(2)设、，　

　由已知有：；……③　　 ；……④

……⑤……8′　 由③④得：……⑥

由③⑥代入⑤整理得：为所求点M的轨迹方程…10′

(3)由(2)知：；……⑦……12′

　　 又(当且仅当时取等号)

　　 的取值范围是……14′

22．解：(1)……3′

　　 .

　　 因此函数在区间(0，+∞)上是减函数.……5′

(2)(方法1)当时，恒成立，令有

又为正整数. 的最大值不大于3.……7′

下面证明当恒成立.

即证当时，恒成立.……9′

令

当

取得最小值

时，恒成立.

因此正整数的最大值为3.……12′

(2)(方法2)当时，恒成立，

即恒成立.

即的最小值大于

上连续递增，

又

存在唯一实根，且满足：

由知：

的最小值为

因此正整数的最大值为3.……12′