参考答案

一、选择题

二、填空题

13． {x|x≤―2或x=1} 　　　14． 7 　　　　　　15．　 18　 　　　　　16．

三、解答题(共74分)

17．(1)∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。 　　　　　　 ∴概率P=(1―)(1―)×=

　　 (2)(理)　　　 ∴　　 　　　　　　 (文)

18．∵α∈(0，)，β∈(，2)，　 ∴，

又，

　　 ∴

又

且，

∴　　 ∴

∴

19．解(1)令则2bx²+x+a=0

　　　　　　 由题意知：x=1，2是上方程两根，由韦达定理： 　　　　　　 　　　　　　　　　　∴ 　　　　　 (2)由(1)知： 　　　　　　 令　　 解得：x<0或1<x<2 　　　　　　 ∴f(x)的单调增区间为(1，2)　　 减区间是(0，1)和(2，+) 　　　　　 (3)由(2)知：f(x)在x₁=1处取极小值，在x₂=2处取极大值。 20．(1)以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴。

则D(0，8，0)，A₁(0，0，4)，M(5，2，4)

∴　

∵　　 ∴

　　 (2)由(1)知A₁D⊥AM，又由已知A₁D⊥AN， ∴A₁D⊥平面AMN，垂足为N。

　　　　　　　 因此AD与平面所成的角即是∠DAN。

　　　　　　　 易知∠DAN = AA₁D = arctan2

　　 (3)∵AA₁⊥平面ABCD，A₁N⊥平面AMN，

　　　　　　　 ∴和分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 　　　　　　　 设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为，则　　　　　　　

=(，)=∠AA₁N = AA₁D = arccos

21．(1)解：设P(a,0)，Q(0，b) 则：　 ∴

设M(x,y)∵　　

∴　　

∴ (2)解法一：设A(a,b)，，(x₁≠x₂)

则：直线SR的方程为：，即4y = (x₁+x₂)x－x₁x₂

∵A点在SR上，∴4b=(x₁+x₂)a－x₁x₂　 ①

对求导得：y′=x

∴抛物线上S、R处的切线方程为：

即4　　　 ②

即4　 ③

联立②③，并解之得　，代入①得：ax－2y－2b=0

故：B点在直线ax－2y－2b=0上

解法二：设A(a,b)

当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)

与联立消去y得：x²－4kx+4ak－4b=0

设，(x₁≠x₂)

则由韦达定理：

又过S、R点的切线方程分别为：，　

联立，并解之得　(k为参数)

消去k，得：ax－2y－2b=0

故：B点在直线2ax－y－b=0上

22．解(1)令m=－1，n=0则：f(–1)=f(–1)f(0)，而f(­–1)>1 ∴f(0)=1

　　　　　　 令m=x>0，n=­ –x<0则f(x–x)=f(x).f(–x)=1

　　　　　　 ∴f(x)=(0,1)，即x>0时0<f(x)<1

　　　　　　 设x₁<x₂则x₂–x₁=0　　　 ∴0<f (x₂–x₁).f (x₁)–f (x₁)=f (x₁)[f (x₂–x₁)–1]<0　 ∴f(x)<f(x₁)

　　　　　　 即y = f (x)在R上单调递减

　 (2)由f(a_n+1)=，nN*　 得：f(a_n+1).f(–2–a_n) =1

　　　　　　 ∴f(a_n+1–a_n–2) = f (0) 由(1)知：a_n+1–a_n–2=0

　　　　　　 即a_n+1–a_n=2(nN*)　 ∴{a_n}是首项为a₁=1，公差为2的等差数列

　　　　　　 ∴a_n=2n–1

　 (3)假设存在正数k，使(1+对nN*恒成立

　　　　　　 记F(n)=

　　　　　　 即　　 ∴F(n)是递增数列，F(1)为最小值。

　　　　　　 由F(n)恒成立知k　　　 ∴k_max = .