湖南师大附中高三第六次月考试卷

数学参考答案(理科)

一、选择题答案：

1.B　 2.A　 3.B　 4.C　 5.C　 6.B　 7.B　 8.A　 9.C　 10.B　 11.C　 12.B

二、填空题答案：

13．－1，－1－2i　　　　　 14．153.75元　　　　　 15．56　　　　　　　 16．

三、解答题

17．(1)

　　 (2)

　　 (3)

18．解①已知向量

若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，………………2分

…………5分　 故知……7分

∴实数时，满足的条件…………8分

(若根据点A、B、C能构成三角形，必须|AB|+|BC|＞|CA|…相应给分)

②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，

…………10分　 解得…………12分

19．(1)证明：∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC…………1分，又∠BCA=90°

∴AC⊥平面PBC…………4分

又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC…………5分

　　 (2)解：设FE的延长线与AC的延长线交于M，连MB，

则MB为平面BEF与平面ABC的交线…………6分

在平面PCA中，由已知E是PC的中点，F是PA的四等分点，

…………7分

取BC的中点H，则EH//PB，　　 ∴EH⊥底面ABC…………8分

过H作HO⊥MB于O，由三垂线定理，EO⊥MB

则∠EOH为平面BEF与底面ABC所成二面角的平面角…………9分

在，在…………10分

…………11分

即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为…………12分

若利用面积射影法，指出△HDB是△EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积

…………7分　　 计算出…………10分

…………11分

即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为…………12分

20．解(1)根据已知，，

∴当n=1时，…………1分

当n=2时，…………2分

当n=3时，

分别等于2，6，10…………3分

　　 (2)…………4分

…………6分，由(1)，

是以2为首项，4为公差的等差数列，

∴数列的通项公式…………8分

若用数学归纳法相应给分

　　 (3)令

…………10分

……12分

21．解(1)∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立……1分

…………2分　 ，

时，取极小值，解得…4分

　　 (2)当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且…………(*)…………7分

、，

此与(*)相矛盾，故假设不成立.………………8分

证明(3)，

或，

上是减函数，且……10分

∴在[－1，1]上，时，

.…………12分

22．解(1)由…………1分

又………2分

，故所求的轨迹方程是……4分

　　 (2)设、，把，得

……6分

∵A、B在y轴的同一侧，，得到…………7分

综上，得.…………8分

　　 (3)由(2)得…………①　　 …………②　

……③………………9分

∵曲线C与x轴交点、，若存在实数k，符合题意，则

不妨取点……11分

将①②③式代入上式,整理得到,解得舍去)……13分

根据曲线的对称性，知存在实数，使得以AB为直径的圆恰好过M点…14分