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数学试题参考答案及评分标准(理科)

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.　

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	B	A	A	C	D	C	C	D	A	B	D

二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.

　 　13.　 14.40　　 15.[0，2]　　　　　　 16.72

三、解答题：本题共6个小题，共74分.

17.(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)∴=(sinα,1)共线　　　　　　 t

∴sinα+cosα=……………………………………………………………… 2分

故sin2α=-

从而(sinα-cosα)²=1-sin2α=……………………………………………… 4分 x

∴α∈(-)∴sinα<0，cosα>0

∴sinα-cosα=-…………………………………………………………………6分

(Ⅱ)∵=2cos²α=1+cos2α……9分

又cos2α=cos²α-sin²α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=

∴原式=1+…………………………………………………………………… 12分

18.(本小题满分12分)

　 解：(Ⅰ)由题意知，从甲袋中摸出白球和从乙袋中摸出红球是相互独立的，则

P=C..()².C..=………………………………………………3分

(Ⅱ)由题意知，事件A：从甲袋中摸出白球2次，从乙袋中摸出白球0次；事件B：从甲、乙袋中摸出白球各1次，事件C:从甲袋中摸出白球0次，从乙袋中摸出白球2次，则

P(A)=C.()²..C.()⁰.()²=……………………………………… 5分

P(B)=C..()².C..=…………………………………………… 7分

P(C)=C.()⁰()³.C()²()⁰=…………………………………………9分

又事件A、B、C互斥

∴所求事件的概率为：

P(A)+P(B)+P(C)=　………………………………………………10分

(Ⅲ)由题意知，随机变量ζ服从二项分布ζ~B(3，)

∴Eζ=3×=2…………………………………………………………………… 12分

19.(本小题满分12分)

　 解：(Ⅰ)∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱

　　　 ∴B₁B⊥AB，又BE=1，DE=

∴BD=

又AB=……………………………………………………………2分

∴D为AB中点，由于AC=BC

∴CD⊥AB.

由已知，面ABB₁A₁⊥面ABC

∴CD⊥面A₁ABB₁……………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD⊥面A₁ABB₁，过D作DF⊥AE于F,连FC，则FC⊥AE，

故∠DFC为二面角C-AE-D的平面角………………………………………… 6分

∵BE=1，AB=2，AE=

在Rt△ABE中 ,sin∠DAE=

在Rt△ADF中，DF=AD.sin∠DAE=

在Rt△CDF中，tan∠DFC=

∴∠DFC=arctan3

即二面角C-AE-D大小为arctan3. …………………………………………………9分

(Ⅲ)连接A₁D、A₁E，∵A₁B₁=2，AA₁=2，AD=，B₁E=1

∴A₁E=3，A₁D=，

又DE=，∴A₁D⊥DE.

又∵CD⊥平面A₁ABB₁，∴CD⊥A₁D.

故A₁D⊥平面CDE，即A₁D为点A₁到平面CDE的距离

∴点A₁到平面CDE的距离为.………………………………………………… 12分

20.(本小题满分12分)

　 解：(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=e^-x(-x²+x)

当f′(x)>0时，0<x<1

当f′(x)0<时，x>1或x<0

所以，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞) ……4分

(Ⅱ)f′(x)=(2x+a)e^-x-e^-x(x²+ax+a)=e^-x[-x²+(2-a)x]

令f′(x)=0,得x=0或x=2-a…………………………………………………………6分

列表如下：

x	(-∞,0)	0	(0，2-a)	2-a	(2-a,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	极小	↗	极大	↘

　　　 由表可知f_极大(x)=f(2-a)=(4-a)e^a-2…………………………………………………8分

　　　 设g(a)=(4-a)e^a-2

　　　 g′(a)=-e^a-2+e^a-2(4-a)=(3-a).e^a-2>0

　　　 ∴g(a)在(-∞，2]上是增函数…………………………………………………… 10分

　　　 ∴g(a)<g(2)=2<3

∴(4-a)e^a-2≠3

∴不存在实数a，使得f(x)的极大值为3. ……………………………………… 12分

21.(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)设点C，G的坐标分别为(x,y)，(x₀,y₀),

=(-1-x₀,-y₀)+(1-x₀,-y₀)+(x-x₀,y-y₀)

　　　　　　　　　　　　 =(x-3x₀,y-3y₀)=

　　　　　　　　　　　　 ∴……………………………………………………………2分

由和∥,知点M的坐标为(0，y₀)，

由,可得,

∴1+,

即x²+,

故点C的轨迹方程是x²+(y≠0). ………………………………………… 5分

(Ⅱ)直线l的斜率为k(k≠0),则它的方程为y=k(x-2),

由可得(3+k²)x²-4k²x+4k²-3=0,

其中△=16k²-4(3+k²)(4k²-3)=36(1-k²)>0,

∴-1<k<1且k≠0……………………………………………………………………7分

设两交点E，F的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂)，由韦达定理得

x₁+x₂=,x₁.x₂=……………………………………………………… 8分

又因为y₁=k(x₁-2),y₂=k(x₂-2),从而

=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=(1+k²)(x₁-2)(x₂-2)

　　　　 　 =(1+k²)()=　…………… 10分

又0<k²<1,所以3<k²+3<4,得∈(3，).

∴的取值范围是(3，).…………………………………………………12分

22.(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)由已知，当n=1时，a,∵a₁>0,∴a₁=1. ………………………… 1分

当n≥2时，…+　　　　 ①

　　 　　　　 　　…+　　　　　　　 ②

由①-②得，a……………………………………………………3分

∵a_n>0, ∴a=2S_n-1+a_n，即a=2S_n-a_n，

当n=1时，∴a₁=1适合上式，

∴a………………………………………………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a,即a=2S_n-a_n(n∈)③

当n≥2时，a=2S_n-1-a_n-1　　　　　　　　　　　　 ④

由③-④得，

a=2(S_n-S_n-1)-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1…………………………………… 8分

∵a_n+a_n-1>0,∴a_n-a_n-1=1,数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，

可得a_n=n. …………………………………………………………………………10分

(Ⅲ)∵a_n=n,∴b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ.2^a_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ.2ⁿ, …………………………11分

要使b_n+1> b_n恒成立，

b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹+(-1)ⁿλ.2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+(-1)^n-1λ.2ⁿ]

　　　　 　=2.3ⁿ-3λ(-1)^n-1.2ⁿ>0恒成立

则(-1)^n-1.λ<()^n-1恒成立……………………………………………………12分

当n为奇数时，即为λ<()^n-1恒成立

又()^n-1的最小值为1，

∴λ<1

当n为偶数时，即为λ>-()^n-1恒成立

又-()^n-1最大值为-

∴λ>-…………………………………………………………………………… 13分

∴-<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1

∴λ=-1，使得对任意n∈，都有b_n+1>b_n…………………………………… 14分