参考答案

一、(每小题5分)

1．B　 2.A　 3.B　 4.A　 5.A　 6.C　 7.A　 8.C　 9.A　 10.B　 11.D　 12.A

二、(每小题4分)

13.{-1,0,1}　 14.(1,)　 15.3-　 16.-　 17.　 18.m=0或m＞1

三、解答题

19.解：显然cosα≠0故将条件等式两边同除以cos²α，得

　　　 6tan²α+tanα-2=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　　 解得tanα=-或tanα(舍去).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　　 ∴sin(2α+)=sin2α.cos+cos2α.sin

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 =sinαcosα+(cos²α-sin²α)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 =+×

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 =+×=-+　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20.解：(1)设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，由题意，得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

解得

∴a_n=1+(n-1)2=2n-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

设等比数列{b_n}的首项为b₁,公比为q

∵b₃=a₂+a₃=3+5=8

　　　 b₂.b₅=128

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

解得

∴b_n=2ⁿ

∴T₈==510　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(2)∵a_n=2n-1

∴＞可化为＞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

解得4＜n＜6

∵n为正整数

∴n=5，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

21.解：(1)当∠A=90°时，=0，

有2×1+3k=0,得k=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)当∠B=90°时，=(-1,k-3)

=0,

有2×(-1)+3(k-3)=0，得k=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

(3)当∠C=90°时，=0，

有-1+k(k-3)=0，

即k²-3k-1=0，解得k=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

22.(1)证明：当x=y=0时，f(0)=0；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∴对任意的x∈(-1,1)有f(x)+f(-x)=0.

故f(x)在(-1,1)为奇函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解：∵{x_n}满足x₁=，x_n+1=

∴0＜x_n＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

∴f(x_n)-f(-x_n)=f[]=f　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 7分

又f(x)在(-1，1)为奇函数

∴f(x_n+1)=f(x_n)

由f()=1，x₁=，有f(x₁)=1

从而f(x_n)=2^n-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(3)解:+…+=1+++…+=2-　　　　　　　　 10分

假设存在自数m，使得对于任意的n∈N⁺,

有++…+=＜成立，

即2-＜恒成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

∴≥2，解得m≥16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

∴存在自然数m≥16,使得对于任意n∈N⁺，有

++…+=＜成立.

此时，m的最小值为16.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

23.解：(1)当x≥时，

①若≤x≤b，则f(x)=(x-a)²是增函数，故

　　　 f(x)≥=;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

②若x＜b,则f(x)=1≥.

故x≥＞1时，f(x)≥成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)①当a+b≤0时，∵f(x)≥0,

∴对任何c∈R,f(c)≥恒成立；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

②当＞1时，∵f(x)≤1，

∴这时c不存在；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

③当0＜≤1时，若c≥b，则f(x)=1;

若a≤c≤b时，f(c)=≥,

解之，得(b-a)+a≤c≤b

故c≥(b-a)+a，使f(c)≥.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

综上所述，当a+b＞2时，不存在实数c，使f(c)≥;

当a+b≤0时，不存在实数c，使f(c)≥；

当0＜a+b≤2时，c∈，使f(c)≥.　　　　　　　　　　 14分