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23.(本小题14分)
已知函数f(x)=.
(1)证明:对于任意的x≥,都有f(x)≥
(2)是否存在实数c,使之满足f(c)≥若存在,求出它的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、(每小题5分)
1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.A 8.C 9.A 10.B 11.D 12.A
二、(每小题4分)
13.{-1,0,1} 14.(1,) 15.3- 16.- 17. 18.m=0或m>1
三、解答题
19.解:显然cosα≠0故将条件等式两边同除以cos2α,得
6tan2α+tanα-2=0 4分
解得tanα=-或tanα(舍去). 8分
∴sin(2α+)=sin2α.cos+cos2α.sin
=sinαcosα+(cos2α-sin2α) 10分
=+×
=+×=-+ 12分
20.解:(1)设等差数列{an}首项为a1,公差为d,由题意,得:
2分
解得
∴an=1+(n-1)2=2n-1 4分
设等比数列{bn}的首项为b1,公比为q
∵b3=a2+a3=3+5=8
b2.b5=128
∴ 6分
解得
∴bn=2n
∴T8==510 8分
(2)∵an=2n-1
∴>可化为> 10分
解得4<n<6
∵n为正整数
∴n=5, 12分
21.解:(1)当∠A=90°时,=0,
有2×1+3k=0,得k=. 5分
(2)当∠B=90°时,=(-1,k-3)
=0,
有2×(-1)+3(k-3)=0,得k=. 10分
(3)当∠C=90°时,=0,
有-1+k(k-3)=0,
即k2-3k-1=0,解得k=. 14分
22.(1)证明:当x=y=0时,f(0)=0; 1分
令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),即f(y)+f(-y)=0 3分
∴对任意的x∈(-1,1)有f(x)+f(-x)=0.
故f(x)在(-1,1)为奇函数. 4分
(2)解:∵{xn}满足x1=,xn+1=
∴0<xn<1 6分
∴f(xn)-f(-xn)=f[]=f 7分
又f(x)在(-1,1)为奇函数
∴f(xn+1)=f(xn)
由f()=1,x1=,有f(x1)=1
从而f(xn)=2n-1 9分
(3)解:+…+=1+++…+=2- 10分
假设存在自数m,使得对于任意的n∈N+,
有++…+=<成立,
即2-<恒成立 11分
∴≥2,解得m≥16 13分
∴存在自然数m≥16,使得对于任意n∈N+,有
++…+=<成立.
此时,m的最小值为16. 14分
23.解:(1)当x≥时,
①若≤x≤b,则f(x)=(x-a)2是增函数,故
f(x)≥=; 3分
②若x<b,则f(x)=1≥.
故x≥>1时,f(x)≥成立. 6分
(2)①当a+b≤0时,∵f(x)≥0,
∴对任何c∈R,f(c)≥恒成立; 8分
②当>1时,∵f(x)≤1,
∴这时c不存在; 10分
③当0<≤1时,若c≥b,则f(x)=1;
若a≤c≤b时,f(c)=≥,
解之,得(b-a)+a≤c≤b
故c≥(b-a)+a,使f(c)≥. 13分
综上所述,当a+b>2时,不存在实数c,使f(c)≥;
当a+b≤0时,不存在实数c,使f(c)≥;
当0<a+b≤2时,c∈,使f(c)≥. 14分