题目所在试卷参考答案：

等差数列.

文科数学参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．解：B．根据AB的意义，以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可知①③

　 ④正确,选B．

2．解：C． ，

　　　　　 故的取值范围是．选C．

评：正确理解函数的定义，结合常见的函数图象来得到值域是解决本题的关键．本题实际上就是求函数的值域.

3．解：C． 　设，则，

是以8为首项，为公比的等比数列，，不等式可化为，

最小整数是7. 选C．

4．解：B．①成立，．

②成立，因为在上是减函数，∴．

③不成立，可举反例，，，．

∴③不对．

④成立，∵，∴正确．

或者

故选B．

5．解：B． ，由图象可知

．故．由函数单调性知选B．

6．解：D．　　 对于②若m、l不垂直，则满足条件的平面不存在．对于③m、l应为平行线．

①④可推出，故选D．

7．解：C．　

由图可知，当P与A重合，，选C．

8．解：C．设，则　即 据题意，有　 即　 如图，故选C．

9．解：C． 观察↓→处可见均为4的倍数，从而2004也在此位置，所以2003到2005的顺

序为↓→，所以选C．

10．解：D． 与二项式定理有关的问题，常常需进行合理的赋值，在本题中，分别令，可求出结果，选D．

11． 解：D． 由图知显然①与③是同一曲线，不妨令｜F₁F₂｜＝1，则①中｜MF₁｜＝，

c₁＝，｜MF₂｜＝，a₁＝　e₁＝+1，而②c＝，

｜MF₂｜＝，

∴e₂＝＜e_1,　∴e₁＝e₃＞e₂.答案：D.

12．解：A． 曲线可化简为，它表示椭圆内的一个菱形及其内部，故曲线上点满足|PF₁|+||PF₂|≤10，选A.

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13. 解：．提示：由题意，，要使p最大，只要最小，则x要最小，即x=3．∴此时p=．

14. 解：①②．提示：③中是的对称中心．

15.解：．提示：．

16.解：．提示：画好图象，注意折叠前后的不变量和改变量。

三、解答题：本大题考查分析问题和解决问题的能力．共6小题，满分共74分．

17．本小题主要考查余弦定理、正弦定理，三角函数的恒等变形等基本解题方法．

满分12分．

解：由余弦定理，因此．……………4分

在中，．　　　　　　 ……………6分

由已知条件，应用正弦定理

，

……………10分

解得，从而．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………12分

18．本小题主要考查概率的基础知识，以及运用概率知识解答实际问题的能力.满分12分．

解: (I) 记该学生在第个交通岗遇到红灯,

答：该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为……………6分

(II) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯(记为A)或恰好遇到一次红灯(记为B)

　　　　　　　　　 ……………7分

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　…………………9分

……………11分

又　所以p的取值范围是　　　　　　　　　　 ……………12分

19．本小题主要考查直三棱锥、异面直线的角、线线垂直、点面距离等基础知识，同时考

查空间想像能力和推理、运算能力．满分12分．

解(Ⅰ)法一：取CC₁的中点F，连接AF，BF，则AF∥C₁D．

　　　　　 　∴∠BAF为异面直线AB与C₁D所成的角或其补角．…1＇

∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=．

又∵CC₁=2，∴AF=BF=．

∵cos∠BAF=，…………3＇

∴∠BAF=，

即异面直线AB与C₁D所成的角为　　

　．…………………………4＇

法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC₁分别为x轴，

y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，2，0)，B(2，0，0)，

C₁(0，0，2)，D(0，2，1)，

∴=(2，－2，0)，=(0，2，－1)．

由于异面直线AB与C₁D所成的角

为向量与的夹角或其补角．…………1＇

设与的夹角为，

则cos==，…………3＇

∴=，

即异面直线AB与C₁D所成的角为　　　　

．………………4＇

(Ⅱ)法一：过C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足为M，

则M为A₁B₁的中点，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．连接DM.

∴DM即为C₁D在平面AA₁B₁B上的射影．…6＇

要使得A₁E⊥C₁D，

由三垂线定理知，只要A₁E⊥DM． 　………7＇

∵AA₁=2，AB=2，

由计算知，E为AB的中点．　　　 ……………8＇

法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA₁C₁C.

连接A₁N.

∴A₁N即为A₁E在平面AA₁C₁C上的射影．………6＇

要使得A₁E⊥C₁D，

由三垂线定理知，只要A₁N⊥C₁D．……………7＇

∵四边形AA₁C₁C为正方形，

∴N为AC的中点，

∴E点为AB的中点．…………………………8＇

法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC₁分别为x轴，

y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A₁(0，2，2)，B(2，0，0)，

C₁(0，0，2)，　 D(0，2，1)，

设E点的坐标为(x，y，0),

要使得A₁E⊥C₁D，

只要.=0，………………………6＇

∵=(x，y－2，－2)，

=(0，2，－1)，

∴y=1．……………………………………7＇

又∵点E在AB上，∴∥．∴x=1．

∴E点为AB的中点．……………………8＇

(Ⅲ)法一：取AC中点N，连接EN，C₁N，

则EN∥B₁C₁．

∵B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，

　　　　 　　∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．

　　　　　 　过点D作DH⊥C₁N，垂足为H，

则DH⊥平面B₁C₁NE，

　　　　 　　∴DH的长度即为点D到

平面B₁C₁E的距离．…………………10＇

　　　　 　　　在正方形AA₁C₁C中，由计算知DH=，

　　　　 　　　即点D到平面B₁C₁E的距离为．………12＇

法二：连接DE，DB₁.

在三棱锥D-B₁C₁E中，点C₁到平面DB₁E的距离

为，B₁E=，DE=，

又B₁E⊥DE，∴△DB₁E的面积为，

∴三棱锥C₁-DB₁E的体积为1．……10＇

设点D到平面B₁C₁E的距离为d，在△B₁C₁E中，B₁C₁=2，B₁E= C₁E=，

∴△B₁C₁E的面积为．由，

得d=，即点D到平面B₁C₁E的距离为．………………………12＇

20．本小题主要考查导数的基础知识及其应用，以及综合应用知识分析问题和解决问题的

能力．满分12分.

解：(I)，　　　　　　　　　　 ……………………………………………2分

当或时，，

为函数的单调增区间　 …………………………………………3分

当时，，

为函数的单调减区间　　　　　　　　 ………………………………………………4分

又因为，

所以当时， 　　　　　　　　　 ………………………………………………5分

当时， 　　　　　　　　　　　 ………………………………………………6分

(II)设切点为，则所求切线方程为

　　　　　　 ………………………………………………8分

由于切线过点，，

解得或．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………………10分

所以切线方程为，即

或．　　　　　　　　　 …………………………………………12分

21．本小题主要考查数列和不等式等数学知识的综合运用，以及代数推理能力、分析问题

和解决问题的能力，考查数学的基本思想和综合解答问题的能力．满分12分．

解: (I) 因为

所以……………2分

要即要. 所以, 时, ……………4分

(II)由题知不妨设a取,

所以……………6分

……,

所以……………8分

所以不论a取中的任何数, 都可以得到一个有穷数列.……………9分

(III) ……………11分

因为, 所以只要有就有………12分

由, 解得: , 即.

所以, a的取值范围是.……………14分

22．本小题主要考查向量、轨迹和等差数列等数学知识的综合运用，考查数学的推理能

力、分析问题和解决问题的能力以及基本数学思想和综合解答问题的能力.满分14分．

(I)解：设点的坐标为，

由，得点是线段的中点，则，，…1分

又，　　　　 ……………………………2分

由，得，　　　　　　　　　　　　　　 ①…………………………………4分

由，得　　 ②…………………………5分

由①②消去，得即为所求点的轨迹的方程　 …………………………6分

(II)证明：设直线的斜率依次为，并记，，

则　　　　　　　　　　　 ……………………………………………………………………7分

设直线方程为

，得，　　　　　 …………………………………………8分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………………………9分

，　　　　　 ……………………………………10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………………11分

成等差数列　　　　　　 ………………………………………………………………14分