襄樊市高三调研测试题(2006．4)

数学(文科)参考答案及评分标准

一．选择题：BDCBA　　CDCCB

二．填空题：11．6　　12．(，1)　　13．8　　14．60　　　 15．

三．解答题：

16．解：∵p与q是共线向量 　　∴(2－2sin A)(1+sin A)－(cos A+sin A)(sin A－cos A)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分 　　整理得：，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分 　　∵△ABC为锐角三角形，∴A=60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　当B＝60°时取函数取最大值2． 　　此时三角形三内角均为60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

17．(1)证：以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立的空间直角坐标系D－xyz， 　 　则D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(，0，0)，M(，2，0)　　 2分 　　∴(，1，)，(，2，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分 　　∴ 　　即，∴AM⊥PM． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

　(2)解：设n＝(x，y，z)，且n⊥平面PAM，则 　　，即 　　∴　Þ　 　　令y＝1，得，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 　　取p＝(0，0，1)，显然p⊥平面ABCD 　　∴ 　　结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

(3)解：设点D到平面PAM的距离为d，由(2)可知与平面PAM垂直，则 　　　 　　　 即点D到平面PAM的距离为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

18．(1)解：每天不超过20人排队结算的概率为：P＝0.1+0.15+0.25+0.25＝0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解：每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为； 　　一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为； 　　一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为；　　　　　　　　　　　　　　　　 9分 　　所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为： 　　， 　　故该商场需要增加结算窗口．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．(1) 解：设椭圆方程为　(a＞b＞0) 　　由已知得a＝2，c＝，b＝1 　　故椭圆C的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)将得 　　由已知，，即m²＜5　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 　 　设，则 　　 　　而 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　于是，即　　　 ② 　　由①、②得　　 　　故m的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20．(1)解：由已知得： 　　即 　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)证： 　　　　　　 　　　 ∴是等比数列　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)证：由得： 　　∴　Þ　 　　当为偶数时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　∴－x₁+x_2­－x₃+x₄－…+(－1)ⁿx_n＝(x₂－x₁)+(x₄－x₃)+…+ (x_n－x_n－1) 　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

21．(1)解：f (x)＝x³+bx²+cx+1，f ′ (x)＝3x²+2bx+c 　　∵f (x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减， 　　∴方程f ′ (x)＝3x²+2bx+c＝0有两个不等实根x₁、x₂，且x₁＝－2，x₂≥2　　　　　　　　　　 2分 　　∴　Þ　b≤0 　　又已知b≥0，∴b＝0 　　∴x₂＝2，c＝－12，∴f (x)＝x³－12x+1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)解：对任意的x₁、x₂∈[m－2，m]，不等式| f (x₁)－f (x₂) |≤16m恒成立，等价于在区间[m－2，m]上，[f (x)]_max－[f (x)]_min≤16m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 　　 　f (x)＝x³－12x+1，f ′(x)＝3x²－12 　　 　由f ′ (x)＝3x²－12＜0解得－2＜x＜2 　 　　∴f (x)的减区间为[－2，2] 　 　　∵0＜m≤2， ∴[m－2，m][－2，2] 　　 ∴f (x)在区间[m－2，m]上单调递减，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　　　在区间[m－2，m]上，[f (x)]_max＝f (m－2)＝(m－2)³－12(m－2)+1 　　 　[f (x)]_min＝f (m)＝m³－12m－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分 　　　 [f (x)]_max－f (x)]_min＝[(m－2)³－12(m－2)+1]－(m³－12m+1)＝－6m²+12m+16 　　　 ∵[f (x)]_max－f (x)]_min≤16m，∴－6m²+12m+16≤16m，3m²+2m－8≥0 　　解得m≤－2，或m≥，又0＜m≤2，故m_min＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分