题目所在试卷参考答案：

高三数学期末综合练习(四)

参考答案及评分标准

一. 选择题(每小题5分，共60分)

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	D	B	C	D	C	A	A	B	D	B	C

二. 填空题(每小题4分，共16分)

13. 　　　　　π 　　; 　　　　　14. 　　　　　　30°　 ;　　　　　 15.;　　　　　　 16. ;

三. 解答题(共74分)

17．(本小题满分12分)

解: …………(2分)

…………(4分)

,,…………(8分)

…………(12分)

18．(本小题满分12分)

解: 解：设学校计划购置台电脑，若向甲公司购买，则总价格

　 　；----------------------3分

若向乙公司购买，则总价格

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ----------------------5分

⑴ 当时，显然，故应选择乙公司； ----------------------7分

⑵ 当时，令，即：

　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　------------------9分

所以：当时，选择乙公司，

　　　　　 当时，选择甲、乙两公司价格一样，

　　　　　 当时，选择甲公司　　　　　　　　　　　　　　 -------------------------11分

答：(略)

19．(本小题满分12分)

证明: (1)在矩形ABCD中,

∵AP＝PB, DQ＝QC,

∴APCQ.

∴AQCP为平行四边形.

∴CP∥AQ. …………(2分)

∵CP平面CEP,

AQ平面CEP,

∴AQ∥平面CEP. …………(4分)

(2) ∵EP⊥平面ABCD,

AQ平面ABCD,

∴AQ⊥EP. …………(5分)

∵AB＝2BC, P为AB中点, ∴AP＝AD. 连PQ, ADQP为正方形.

∴AQ⊥DP. 又EP∩DP＝P, …………(6分)

∴AQ⊥平面DEP. …………(7分)

∵AQ平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. …………(8分)

(3)过P作PO⊥AE, 垂足为O, 连OQ.

∵QP⊥AB, QP⊥EP,

∴QP⊥平面AEP.

则OQ⊥AE.

∴∠QOP为二面角Q-AE-P的平面角. …………(10分)

∵EP＝AP＝,

∴OP＝EP＝AP＝PQ.

∴tan∠POQ＝arctan.

即二面角Q-AE-P的大小为arctan.…………(12分)

20．(本小题满分12分)

解: (1)当时, …………(1分)

当时,

＝…………(3分)

可见, 当时, 满足上式.

所以, 数列的通项公式是…………(4分)

(2)由数列的通项公式是

可知数列是等差数列.

∴, ∴…………(6分)

∴点的坐标满足方程

∴点在直线上.

所以, 以集合A中的元素为坐标的点均在直线上. …………(8分)

(3)由, 消去y, 得…………①…………(9分)

当时, 方程①无解, 此时, …………(10分)

当时, 方程①只有一个解

此时方程组也只有一个解, 即

故上述方程组至多有一解, 所以至多有一个元素…………(12分)

21．(本小题满分12分)

解: (1) 函数在区间上是增函数, 函数在区间上是减函数.(1分)

下面证明: 设, 则

,…………(3分)

∵,

∴, 同理. 又, ∴.…………(4分)

① 当时, , .

∴∴.

∴函数在区间上是增函数.

②当时, , ∴.

∴∴.

∴函数在区间上是减函数.

综上所述: 函数在区间上是增函数, 在区间上是减函数. ……(6分)

(2) 由可知,函数在区间上减函数,

∵∴…………(8分)

又在函数中, ∵3,

∴.∴, , ∴…………(10分)

∴, ∴.

∴.…………(12分)

22．(本小题满分14分)

解： (1) 如图(1) 设P点的坐标为,

则由题设得:,

化简得: ,

　　 即即.

　　 ∴点P的轨迹C的方程是.…………(5分)

　　 (2) ①当AB轴时, AB的坐标分别为

, ,

AN与BM的交点为在x轴上. …………(6分)

②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为,

代入椭圆,得…………(7分)

设, , 则, ,

且…………(8分)

∵直线AN方程是, 直线BM方程是.

联列, 得, 消去y, 得: .

即　即, …………(10分)

把代入直线AN的方程

得

…………(13分)

∴AN与BM交于点是x轴上一定点. …………(14分)

(2) 解法二: 如图(2) 当AB不垂直于x轴时,

设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,

在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH₁∥BN,

∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH₁

∴

,…………(10分)

同理可推, ∴

, …………(12分)

∴,∴H与H₁重合

∴AN与BM交点是x轴上一定点. …………(14分)