17．(本题12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点。 ⑴求证：平面BEF⊥平面ABC； ⑵求平面BEF和平面BCD所成的角.

18．(本题12分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. ⑴求正三棱柱的侧棱长. ⑵若M为BC1的中点，试用基向量、、表示向量； ⑶求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．.

19．(本题12分)如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F. ⑴求证：A1C⊥平面BED； ⑵求A1B与平面BDE所成的角的正弦值.

20．(本题12分)．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8. ⑴求CD的长度； ⑵求CD与平面所成的角

21．(本题12分)棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x(0≤x≤a).以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图. ⑴求证：A1F⊥C1E； ⑵当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B1-EF-B的大小.

　　　　　　　 由 　　　　　　　 　　　　　　　 所以 　　　　　　　 因为 　　　　　　　 所以 　　 ⑵作 　　　　　　　 　 　　　　　　　 所以 　　　　　　　 所以θ=即平面BEF和平面BCD所成的角为18．解：⑴设正三棱柱的高为h，由AB=2及正三棱柱的性质知 B 　　　 　　 又， 　　　 　　 即 　　　　 ，则正三棱柱的侧棱长为. ⑵连结AC1，∵点M是BC1的中点 　 ⑶ ， 而 ∴异面直线AB1与BC所成角的余弦值为．

19．解：⑴解法(一)(1)以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系0－xyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)， 　　　 A1(2，0，4)，D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，B1(2，2，4)， 　　　 设E(0，2，t)，则∵ 　　　 　 　　　 　　　 且 　　　 　　　 　 　　　 (2)设A1C∩平面BDE=K， 　　　 设A1C∩平面BDE=K， 　　　 　　　 …① 　　　 同理有…② 　　　 由①，②联立解得　 　　　 　 　　　 即所求角的正弦值是　 解法(二)(1)证明：连AC交BD于点O，由正四棱柱性质可知AA1⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴A1C⊥BD 　　　 又∵A1B⊥侧面BC1且B1C⊥BE， ∴A1C⊥BE， 　　　 ∵BD∩BE=B， ∴A1C⊥平面BDE 　　　 (2)解：设A1C交平面BDE于点K，连BK， 　　　 则∠A1BK为A1B与平面BDE所成的角， 　　　 ∵在侧面BC1中BE⊥B1C，∴△BCE∽△B1BC， 　　　 　 　　　 连结OE，则OE为平面ACC1A1与平面DBE的交线， 　　　 　　　 　　　 　　　 即为A1B与平面BDE所成的角的正弦值.

20．解：⑴因为，故有 　 ， 因为CA⊥AB，BD⊥AB，所以 所以. (2)过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，则∠CDE就是CD与平面α所成角。 .

21．⑴证：∵AE＝BF＝x，∴A′(a,0,a)、C′(0,a,a)、E(a,x,0)、F(a－x,a,0)， 　　　 ……4分 　　　 　　　 ∴A′F⊥C′E。 　　　 ⑵由BF＝x，EB＝a－x， 　　　 则当且仅当 　　　 时等号成立，此时E、F分别为AB、BC的中点. 　　　 取EF的中点M，连BM，则BM⊥EF，根据三垂线定理知EF⊥B1M， 　　　 ∴∠B1MB即为二面角B1－EF-B的平面角. 　　　 在Rt△BMF中，　 　　　 在Rt△B1BM中， 　　　 ∴二面角B1-EF-B的大小是。

22．解：⑴如图所示：C(2，0，0)，S(0，0，1)，O(0，0，0)，B(1，1，0) ⑵① ②, 　 ③；