20．(本题12分)．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8. ⑴求CD的长度； ⑵求CD与平面所成的角

21．(本题12分)棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x(0≤x≤a).以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图. ⑴求证：A1F⊥C1E； ⑵当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B1-EF-B的大小.

22．(本题14分)如图直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz. ⑴求的大小(用反三角函数表示)； ⑵设 　　　 ① 　　　 ②OA与平面SBC的夹角(用反三角函数表示)； 　　　 ③O到平面SBC的距离. ⑶设 　　　 ①　　　　　　 .　 　　　 ②异面直线SC、OB的距离为 　　　　　　　　.(注：⑶只要求写出答案) 高三单元试题之十：空间向量参考答案

　　　　　　　 由 　　　　　　　 　　　　　　　 所以 　　　　　　　 因为 　　　　　　　 所以 　　 ⑵作 　　　　　　　 　 　　　　　　　 所以 　　　　　　　 所以θ=即平面BEF和平面BCD所成的角为18．解：⑴设正三棱柱的高为h，由AB=2及正三棱柱的性质知 B 　　　 　　 又， 　　　 　　 即 　　　　 ，则正三棱柱的侧棱长为. ⑵连结AC1，∵点M是BC1的中点 　 ⑶ ， 而 ∴异面直线AB1与BC所成角的余弦值为．

19．解：⑴解法(一)(1)以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系0－xyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)， 　　　 A1(2，0，4)，D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，B1(2，2，4)， 　　　 设E(0，2，t)，则∵ 　　　 　 　　　 　　　 且 　　　 　　　 　 　　　 (2)设A1C∩平面BDE=K， 　　　 设A1C∩平面BDE=K， 　　　 　　　 …① 　　　 同理有…② 　　　 由①，②联立解得　 　　　 　 　　　 即所求角的正弦值是　 解法(二)(1)证明：连AC交BD于点O，由正四棱柱性质可知AA1⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴A1C⊥BD 　　　 又∵A1B⊥侧面BC1且B1C⊥BE， ∴A1C⊥BE， 　　　 ∵BD∩BE=B， ∴A1C⊥平面BDE 　　　 (2)解：设A1C交平面BDE于点K，连BK， 　　　 则∠A1BK为A1B与平面BDE所成的角， 　　　 ∵在侧面BC1中BE⊥B1C，∴△BCE∽△B1BC， 　　　 　 　　　 连结OE，则OE为平面ACC1A1与平面DBE的交线， 　　　 　　　 　　　 　　　 即为A1B与平面BDE所成的角的正弦值.

21．⑴证：∵AE＝BF＝x，∴A′(a,0,a)、C′(0,a,a)、E(a,x,0)、F(a－x,a,0)， 　　　 ……4分 　　　 　　　 ∴A′F⊥C′E。 　　　 ⑵由BF＝x，EB＝a－x， 　　　 则当且仅当 　　　 时等号成立，此时E、F分别为AB、BC的中点. 　　　 取EF的中点M，连BM，则BM⊥EF，根据三垂线定理知EF⊥B1M， 　　　 ∴∠B1MB即为二面角B1－EF-B的平面角. 　　　 在Rt△BMF中，　 　　　 在Rt△B1BM中， 　　　 ∴二面角B1-EF-B的大小是。

22．解：⑴如图所示：C(2，0，0)，S(0，0，1)，O(0，0，0)，B(1，1，0) ⑵① ②, 　 ③；