高三单元试题之二：函数参考答案

一、1．B　2．B　3．A　4．B　5．D　6．B　7．C　8．B　9．D　10．B　11．A　12．A

二、13．2　14．f(x),g(x)　15．500　16．(－∞,－1)∪(1,+∞)

三、17．解：。

①　　　　 若a>b>0，则>1，0<<1。由指数函数的性质知≥1,0<≤1，∴>1，于是N>M；

②　　　　 若a＝b>0，则＝＝1，∴＝+＝1+1>1，于是N>M；

③　　　　 若0<a<b，同理有N>M。综上所述N>M。

18．解：⑴由题设有，∴

∵a≠1，∴log₂a≠0，由②得log₂a－1＝0，∴a=2，代入①解得k＝2。

⑵∵k=2，∴f(x)=x²－x+2=(x－)²+>0。

∴＝f(x)+≥＝6。当且仅当f(x)＝，即[f(x)]²=9时取等号。∵f(x)>0，∴f(x)＝3时取等号。即x²－x+2＝3，解得x＝。当x＝时，取最小值。

19．解：⑴由题意，，又，所以。

⑵

当时，，它在上单调递增；

当时，，它在上单调递增。

20．解：⑴f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，0<f(x)<1，∴f(0)=1；设m=x<0，n=－x>0，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴f(x)＝>1。

⑵设x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴0<f(x₂－x₁)<1，∴f(x₂)－f(x₁)＝f[(x₂－x₁)+x₁]－f(x₁)＝f(x₂－x₁)f(x₁)－f(x₁)＝f(x₁)[f(x₂－x₁)－1]<0，∴f(x)在R上单调递减。

⑶∵f(x²)f(y²)>f(1)，∴f(x²+y²)>f(1)，由f(x)单调性知x²+y²<1，又f(ax－y+2)=1=f(0)，

∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴，∴a²+1≤4，从而。

21．解：⑴依题意，设B(t, t)，A(－t, t)(t>0)，C(x₀,y₀)。∵M是BC的中点，∴＝1，＝m，∴x₀＝2－t，y₀＝2m－t。在△ABC中，|AB|＝2t，AB边上的高h＝y₀－t＝2m－3t。∴S＝|AB|.h＝.2t.(2m－3t)＝－3t²+2mt，t∈(0,1]。

⑵S＝－3t²+2mt＝－3(t－)²+，t∈(0,1]。若，即<m≤3。当t＝时，S_max＝，相应的C点坐标是(2－，m)。若>1，即m>3时，S=f(t)在区间(0,1]上是增函数，∴S_max＝f(1)=2m－3，相应的C点坐标是(1,2m－)。

22．⑴证明：由题设条件可知，当时，有

即

⑵证法一：对任意的

当不妨设则

所以，

综上可知，对任意的都有

证法二：由⑴可得，当

所以，当因此，对任意的

当时，当时，有

且

所以

综上可知，对任意的都有

⑶答：满足所述条件的函数不存在．

　　　　 理由如下，假设存在函数满足条件，则由

　　 得　 又所以①

　　 又因为为奇数，所以由条件

得 ②　 ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在．