数　　 学(理)

参考答案

一、选择题：(本题每小题5分，共50分)

二、填空题：(本题每小题4分，共16分)

11．　 30　　　 12．2　　　　 13.4　　　　 14．25

三、解答题(本大题6小题，共84分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15、解答： (1)∵||=1，∴(sinx－1)²+(cosx－1)²=1，

即sinx+cosx=1，sin(x+)=1，　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　…………4分

sin(x+)=，又　　　 ∴x=0或　　　　　　　　　　　　 　………………7分

(2)∵.=sin(x+)－.

∴=sin(x+)－，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………10分

由题意得=(－，－).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………14分

16、解：(1)根据题意ξ的取值应是4，5，6，7　

　 　　　 “ξ=4”表示甲胜4场或乙胜4场　　　 　　　 ∴P(ξ=4)=2；(2分)

　　　　　　 “ξ=5”表示甲胜第5场且前4场中胜3场，或乙胜第5场且前4场中胜3场

　　　　　　 ∴P(ξ=5)=；(4分)

　　　　　　 “ξ=6”表示甲胜第6场且前5场中胜3场，或乙胜第6场且前5场中胜3场

　　　　　　 ∴P(ξ=6)=；(6分)

　　　　　　 “ξ=7”表示甲胜第7场且前6场中胜3场，或乙胜第7场且前6场中胜3场

　　　　　　 ∴P(ξ=7)=；　 (8分)

　　　　　　 因此随机变量ξ的分布列为

ξ	4	5	6	7
P

　　　　　　 并且Eξ=4×+5×+6×+7×=　 (10分)

(2)用随机变量η表示举行一次这样比赛的所需费用，则根据条件，知η=32ξ+200，

由于Eξ=，所以Eη=E(32ξ+200)=32Eξ+200=386.

　 因此举行一次这样的比赛所需费用平均为386元.　　　 (14分)

17、(Ⅰ)证明：正方形ABCD　　 ∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，

∴CB⊥面ABEF　　 ∵AG，GB面ABEF，　　 ∴CB⊥AG，CB⊥BG

又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，

∴AG=BG=，AB=2a， AB²=AG²+BG²，∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面CBG　 而AG面AGC，　 故平面AGC⊥平面BGC　 …………5分

　　 (Ⅱ)解：如图，由(Ⅰ)知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，　　　 ∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角

∴在Rt△CBG中　　　 又BG=，

∴……………………9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，BH⊥面AGC　　　　　 作BO⊥AC，垂足为O，连结HO，则HO⊥AC，

∴为二面角B-AC-G的平面角　　 在

在Rt△BOH中，

即二面角B-AC-G的大小为………………14分

18、 (1)解：将点代入中得 　　　即 　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分 　　过点(0，1)且方向向量为(1，2)的直线为 　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　(2) 对任意正整数n，不等式≤…成立 　　即a≤…对任意正整数n成立　　　　　　　　　　　　　 8分 　　记… 　　则　　　 12分 　　∴，即f (n)递增　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　故，∴0＜a≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

19、 解：(Ⅰ)以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，线段BC的中垂线为y轴建立坐标系如图　

　　　 设　 …………2分

　　　 两式平方相加，得m=9　　　 ………………4分

又

两式平方相加，得　　 ………………6分

设双曲线的方程为　 　　　由双曲线的定义，

有2a=||AC|－|AB||=|m－5|=4，即a=2　　　　 又2c=，即

∴b²=c²－a²=9　　　　　 ∴双曲线E的方程为　……8分

(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同两点M、N，

并设　 由知点D是线段MN的中点，

∴　 …………10分　　

　由于点M、N都在双曲线E上，

∴　　　　 将两式相减，得

此时直线l的方程为 　……12分

但由

∴不存在满足条件的直线l　　 ………………14分

20、解：(1)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　，把B(1，b)代入得b=

∴a=－3，b=－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

(2)令=3x²－6x=0得x=0或x=2

∵f(0)=1，f(2)=2³－3×2²+1=－3

f(－1)=－3，f(4)=17

∴x∈[－1，4]，－3≤f(x)≤17

要使f(x)≤A－1989对于x∈[－1，4]恒成立，则f(x)的最大值17≤A－1989

∴A≥2006。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

(1)　　　　　　 已知g(x)=－

∴

∵0＜x≤1，∴－3≤－3x²＜0，

①　　　　 当t＞3时，t－3x²＞0，

∴g(x)在上为增函数，

g(x)的最大值g(1)=t－1=1,得t=2(不合题意,舍去)…………10分

②　　　　 当0≤t≤3时,

令=0,得x=

列表如下:

x	(0, )
	+	0	－
g(x)	↗	极大值	↘

g(x)在x=处取最大值－+t=1

∴t==＜3

∴x=＜1

③当t＜0时，＜0，∴g(x)在上为减函数，

∴g(x)在上为增函数，

∴存在一个a=，使g(x)在上有最大值1。…………14分