具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 　　 例1　　 给定双曲线。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。 　　 分析：设，代入方程得，。 　　 两式相减得 　　 。 　　 又设中点P(x,y)，将，代入，当时得 　　 。 　　 又， 　　 代入得。 　　 当弦斜率不存在时，其中点P(2，0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。 　　 例2　　 已知椭圆，通过点(1，1)引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。 　　 略解：有，代入得 0，得。 　　 从而直线方程是。 　　 此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。

　　 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 　　 例3　　 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。 　　 (1)求证离心率； 　　 (2)求的值； 　　 (3)求的最值。 　　 分析：(1)设，，由正弦定理得。 　　 得　 ， 　　 　。 　　 (2)，采用合分比定理得 　　　　　 　， 　　　　　 。 　　 (3)。 　　 当时，最小值是； 　　 当时，最大值是。

　　 在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 　　 例4　　 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。 　　 分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得 。 　　 又，，，代入得。 　　 又由解得交点。 　　 交点在椭圆内，则有 　　 。 　　 得。 　　 例5　　 为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。 　　 略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线内，有，解得。

　 基本知识点： 　　 (1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 　　 (2)注意韦达定理的应用。 　　 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则 　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　 (3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。 　　 (4)有关中点弦问题 　　 <1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 　　 <2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。 　　 (5)有关圆锥曲线的对称问题 　　 这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。 　　 (6)圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 　　 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 　　 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。 [例题选讲] 　 例1. 已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M(a，0)且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B 　　 　　 (2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。 　　 解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2)设Q(x3，y3)由中点坐标公式得 　　 　　 　　 　　 又三角形MNQ为等腰直角三角形 　　 　 例2. 线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。(2000年，全国高考) 　 　解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。 　 h是梯形的高。 　　 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为 　　 　　 　　 　　 　　 由点C、E在双曲线上，得 　　 　　 　　 　　 　　 小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。 　 例3. 　　 (1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点 　　 (2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。 　　 值范围。(1997年.上海高考) 　　 (1)证明：抛物线的准线为 　　 　　 由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得 　　 　　 　　 　　 　　　 　　 故直线与抛物线总有两个交点。 　　 (2)解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (3)解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　 例4. 　　 (1)求椭圆方程； 　　 (2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 　　 (1)解： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 把(2)代入(1)式中得： 　　 　　 　　 　 例5. 点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1， 　　 (1)求椭圆E的离心率e； 　　 (2)求双曲线C的方程。 　　 解：(1)因为点M(2，1)，点N(4，-1) 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2)因为ee1=1 　　 　　 　　 　　 　　 设双曲线C上一点P(x，y) 　　 　　 化简得双曲线C的方程： 　　 　 例6. 已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离。 　　 解：设中点M的坐标为(x，y)，利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v)，依题意有 　　 　　 　　 　　 　 　　 将(4)(5)代入(3)得： 　 　 　　 　　 此即M点的方程 　　 　　 　　 　　　 　　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　

　 　在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。

　　 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 　 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。 　 　解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。 　　 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A(2，2)和B(8，8)为直径端点的圆，其方程为 　　 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。 　 例2. 已知点P(5，0)和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 　　 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，，即，所以所求的轨迹方程为 　 　评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 　 例3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 　　 解：因圆心在直线上，故可设圆心 　　 又圆与轴相切，， 　　 此时可设圆方程为 　　 (运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。) 　 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。 　　 弦心距 　　 ，解得 　　 当时，，圆方程为 　　 　 当时，，圆方程为 　　 　　 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。 　 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 　　 解： 圆过原点，并且， 　　 是圆的直径，圆心的坐标为 　　 又在直线上， 　　 即为所求。 　　 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

　　 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 　　 例5. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。 　　 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 　　 由方程组消去后得 　　 　　 由，得　　　　　　 (1) 　　 又P、Q在直线上， 　　 　　 把(1)代入，得， 　　 即 　　 化简后，得 　　 　　　　(4) 　　 由，得 　　 　　 把(2)代入，得，解得或 　　 代入(4)后，解得或 　　 由，得。 　　 所求椭圆方程为 　　 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 　 例6. 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则 　　 解：设A()，B()则M() 　　 又A、B分别在上，则有 　　 　　 由得， 　　 即， 　　 　　 　　 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。

　　 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 　 例7. 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。 　　 解：设所求圆的方程为： 　　 　　 即， 　　 其圆心为C() 　　 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。 　　 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。