解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 　 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。 　 　解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。 　　 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A(2，2)和B(8，8)为直径端点的圆，其方程为 　　 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。 　 例2. 已知点P(5，0)和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 　　 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，，即，所以所求的轨迹方程为 　 　评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 　 例3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 　　 解：因圆心在直线上，故可设圆心 　　 又圆与轴相切，， 　　 此时可设圆方程为 　　 (运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。) 　 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。 　　 弦心距 　　 ，解得 　　 当时，，圆方程为 　　 　 当时，，圆方程为 　　 　　 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。 　 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 　　 解： 圆过原点，并且， 　　 是圆的直径，圆心的坐标为 　　 又在直线上， 　　 即为所求。 　　 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

　　 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 　　 例5. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。 　　 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 　　 由方程组消去后得 　　 　　 由，得　　　　　　 (1) 　　 又P、Q在直线上， 　　 　　 把(1)代入，得， 　　 即 　　 化简后，得 　　 　　　　(4) 　　 由，得 　　 　　 把(2)代入，得，解得或 　　 代入(4)后，解得或 　　 由，得。 　　 所求椭圆方程为 　　 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 　 例6. 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则 　　 解：设A()，B()则M() 　　 又A、B分别在上，则有 　　 　　 由得， 　　 即， 　　 　　 　　 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。

　　 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 　 例7. 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。 　　 解：设所求圆的方程为： 　　 　　 即， 　　 其圆心为C() 　　 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。 　　 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

　　 近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。

　　 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是： 　　 把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则 。记住了结果 ，在计算中，直接代，就能减少配方、开方等运算过程。 　　 例1　　 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 　　 解：把代入椭圆方程得到。 　　 ， 　　 则。

2. 求过圆锥曲线焦点的弦 　　 圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 　　 例3　　 如图1，、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，则_______________。 　　 解：由定义可知， 　　　　 ， 　　　　 则。 　　　　 又由图可知， 　　　　 因此。 　　　 注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。

3. 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算 　　 例4　　 已知圆F的方程，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为，当为何值时，线段，，成等差数列。 　　 解：依题意知圆心F(0,1)，半径为1，抛物线的方程：，　(如图2)。 　　 成等差数列， 　　 ， 　　 即，。 　　 设的方程为：，代入得。 　　 由， 　　 解得， 　　 故或。 　　 注：如果此题直接计算三段，，的长，而不结合图形得关系式 ，会加大运算量。

1. 用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离 　 例5　 直线与轴不垂直，与抛物线交于A、B两点，与椭圆 交于C、D两点，与轴交于点，若，求的范围。 　　 解：设直线的方程为，又设、、 。 　　 由， 　　 得到。 　　 当　 ，　　　　　　　　　　 (1) 　　 由韦达定理得 　　 ， 　　 由 　　 得到。 　　 　　　　　　　　　　　　　　(2) 　　 有。 　　 要使，只需AB的中点与CD的中点坐标相同即可。由，得 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3) 　　 把(3)分别代入(1)、(2)可求得的范围为(-2，-1)。 　　 注：此题如果不转化，就找不到关系，花费再多时间都难以解出。

2. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 　　 例6　 点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线 上移动，若取得最小值，求点P的坐标。 　　 解：抛物线的准线方程为，设P到准线的距离为，则 =。要使取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时， 取得最小值，把代入，得P(1，2)。

　　 利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。 　　 例7　 过点A(-2，4)引倾斜角为的直线交抛物线于 两点，若成等比数列，求P的值。 　　 解：设直线的参数方程为 　　 　　 代入得 　　 ， 　　 ， 　　 。 　　 由参数的几何意义，得，，。 　　 根据题意得， 　　 ， 　　 ，于是，即，又 ，得。