近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。

　　 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是： 　　 把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则 。记住了结果 ，在计算中，直接代，就能减少配方、开方等运算过程。 　　 例1　　 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 　　 解：把代入椭圆方程得到。 　　 ， 　　 则。

1. 求直线与圆的相交弦 　　 因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。 　　 设直线方程为，圆的方程为，圆心为，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为，则。 　　 例2　　 求圆截得直线的线段长。 　　 解：由原方程得，圆心为(-1，-2)，则 ，从而截得线段长。

2. 求过圆锥曲线焦点的弦 　　 圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 　　 例3　　 如图1，、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，则_______________。 　　 解：由定义可知， 　　　　 ， 　　　　 则。 　　　　 又由图可知， 　　　　 因此。 　　　 注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。

3. 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算 　　 例4　　 已知圆F的方程，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为，当为何值时，线段，，成等差数列。 　　 解：依题意知圆心F(0,1)，半径为1，抛物线的方程：，　(如图2)。 　　 成等差数列， 　　 ， 　　 即，。 　　 设的方程为：，代入得。 　　 由， 　　 解得， 　　 故或。 　　 注：如果此题直接计算三段，，的长，而不结合图形得关系式 ，会加大运算量。

2. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 　　 例6　 点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线 上移动，若取得最小值，求点P的坐标。 　　 解：抛物线的准线方程为，设P到准线的距离为，则 =。要使取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时， 取得最小值，把代入，得P(1，2)。

　　 利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。 　　 例7　 过点A(-2，4)引倾斜角为的直线交抛物线于 两点，若成等比数列，求P的值。 　　 解：设直线的参数方程为 　　 　　 代入得 　　 ， 　　 ， 　　 。 　　 由参数的几何意义，得，，。 　　 根据题意得， 　　 ， 　　 ，于是，即，又 ，得。

　　 在过原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。 　　 例8　　 P、Q是双曲线上的两点，若，求证： 为定值。 　　 解：将代入 　　 ， 　 　有。 　　 设，为定值。 　　 上面五种方法及例证充分说明，灵活掌握求线段长的简便算法，会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。

　　 例1　 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t　 (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程； 　 (2)计算出点P、Q的坐标； 　 (3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.　　　　　　　　　 　 讲解: 　通过读图,　 看出点的坐标. (1 ) 显然, 　于是 直线 的方程为； 　 (2)由方程组 解出　 、；　　　　　　　 　 (3), 　　　 　. 　 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q. 　　　　　　 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2　 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． 　 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 　 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为 代入椭圆方程　得 　　　　　 化简后，得关于的一元二次方程 　　　　　　 于是其判别式 由已知，得△=0．即　 ① 在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 　令顶点P的坐标为(x，y)，　 由已知，得 　代入①式并整理，得 ,　 即为所求顶点P的轨迹方程． 　　　　　　 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 　 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 　(1)求双曲线的方程； 　(2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 　 讲解：∵(1)原点到直线AB：的距离. 　　 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y，整理得 . 　　 设的中点是，则 　　 　 　 即 故所求k=±. 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 　 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． 　 (1)求椭圆C的离心率； 　 (2)求椭圆C的方程． 　 讲解：(1)设, 对　由余弦定理, 得 　， 解出　 　(2)考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： 　 i) 当k存在时，设l的方程为………………① 　椭圆方程为 　由　 得　 . 于是椭圆方程可转化为　 ………………② 将①代入②，消去得　 　　, 整理为的一元二次方程，得　　　 . 则x1、x2是上述方程的两根．且 ， 也可这样求解： 　 　 ， AB边上的高 　 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 　 由①②知S的最大值为　 由题意得=12　 所以　　 　 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：…………① (这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.) 椭圆的方程为： 由得：于是椭圆方程可化为：……② 把①代入②并整理得： 于是是上述方程的两根. , AB边上的高, 从而 　　　 当且仅当m=0取等号，即 　　 由题意知,　 于是　 . 　　 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： 　　 例5 　已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上. (1)求此椭圆的离心率； (2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程. 　　　 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为　得 ,　　 根据韦达定理，得　　　　　　 　 　∴线段AB的中点坐标为().　 　由已知得 　 故椭圆的离心率为　. 　(2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为　设关于直线的对称点为 解得　 　 由已知得 故所求的椭圆方程为　. 　　　 例6 　已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点， 　　　 (1)如果，求直线MQ的方程； 　　　 (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 　　　 讲解:(1)由，可得由射影定理，得　 　在Rt△MOQ中， 　 　 ， 　　 故， 　　 所以直线AB方程是 　　 (2)连接MB，MQ，设由 点M，P，Q在一直线上，得 由射影定理得 即　把(*)及(**)消去a，并注意到，可得 　　　 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 　　 例7　 　如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程； (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设， 　 　 　 　 　 试确定实数的取值范围． 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 .　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　 ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　y 　C 　 　　　 = A　　 O　　　　 B 　 ∴动点P的轨迹是椭圆 .　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴曲线E的方程是 　. 　 (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得 　　　　 设M1(,　 则 ① 　 ② 　 ③ 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　 i)　 L与y轴重合时，　　　　　　　　 　　　　　 ii)　 L与y轴不重合时， 　 由①得　 　 又∵, ∵　 或　 ∴0＜＜1 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ∴　.　　　　　　 　　　 ∵ 而　 ∴ ∴ 　　　　　　　　　　　　　　 ∴ ,　 , ∴的取值范围是　.　　 　　 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 　　 例8　 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点. 　 (1)求证：; 　 (2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 　 讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 　 若l⊥x轴，则l的方程为. 若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得　　　　　　 . 综上可知　 . (2)设，则CD的垂直平分线的方程为 假设过F，则整理得 　 　　 ，. 这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线. 　　　　　　 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！ 　　　 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 　　　　　　 讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则 　　　 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即　 　|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50, , ∴M在双曲线的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？ 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.

Ⅰ.求曲线的方程1．曲线的形状已知 　　　　　　 这类问题一般可用待定系数法解决。 　　　　　　 例1 (1994年全国) 　　　　　　 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 　　　　　　 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： A/()，B/()。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=. 所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x. 　　　　　　 例2 (1993年全国) 　　　　　　 在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。 　　　　　　 分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。