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　　 例1　 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t　 (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程；

　 (2)计算出点P、Q的坐标；

　 (3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.　　　　　　　　　

　 讲解: 　通过读图,　 看出点的坐标.

(1 ) 显然, 　于是 直线

的方程为；

　 (2)由方程组

解出　 、；　　　　　　　

　 (3),

　　　 　.

　 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

　　　　　　 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2　 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

　 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,

　 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

代入椭圆方程　得

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△=0．即　 ①

在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得

　令顶点P的坐标为(x，y)，　 由已知，得

　代入①式并整理，得 ,　 即为所求顶点P的轨迹方程．

　　　　　　 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

　 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

　(1)求双曲线的方程；

　(2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

　 讲解：∵(1)原点到直线AB：的距离.

　　 故所求双曲线方程为

(2)把中消去y，整理得 .

　　 设的中点是，则

即

故所求k=±.

为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

　 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．

　 (1)求椭圆C的离心率；

　 (2)求椭圆C的方程．

　 讲解：(1)设, 对　由余弦定理, 得

　，

解出　

　(2)考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：

　 i) 当k存在时，设l的方程为………………①

　椭圆方程为

　由　 得　 .

于是椭圆方程可转化为　 ………………②

将①代入②，消去得　 　　,

整理为的一元二次方程，得　　　 .

则x₁、x₂是上述方程的两根．且

，

也可这样求解：

AB边上的高

ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为　 由题意得=12　 所以　　

　 故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：…………①

(这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.)

椭圆的方程为：

由得：于是椭圆方程可化为：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的两根.

,

AB边上的高,

从而

当且仅当m=0取等号，即

　　 由题意知,　 于是　 .

　　 故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

　　 例5 　已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.

(1)求此椭圆的离心率；

(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.

　　　 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为　得

,　　

根据韦达定理，得　　　　　　

　∴线段AB的中点坐标为().　

　由已知得

　 故椭圆的离心率为　.

　(2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为　设关于直线的对称点为

解得　 　

由已知得

故所求的椭圆方程为　.

　　　 例6 　已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

　　　 (1)如果，求直线MQ的方程；

　　　 (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.

　　　 讲解:(1)由，可得由射影定理，得　 　在Rt△MOQ中，

　 　 ，

　　 故，

　　 所以直线AB方程是

　　 (2)连接MB，MQ，设由

点M，P，Q在一直线上，得

由射影定理得

即　把(*)及(**)消去a，并注意到，可得

　　　 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

　　 例7　 　如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，

　 试确定实数的取值范围．

讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 .　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

　　 ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　y

∵　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴曲线E的方程是 　.

　 (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得

设M₁(,　 则

i)　 L与y轴重合时，　　　　　　　　 　　　　　

ii)　 L与y轴不重合时，

　 由①得　

　 又∵,

∵　 或　

∴0＜＜1 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

∴　.　　　　　　 　　　

∵

而　 ∴

∴ 　　　　　　　　　　　　　　

∴ ,　 ,

∴的取值范围是　.　　

　　 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

　　 例8　 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.

　 (1)求证：;

　 (2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

　 讲解: (1)易求得抛物线的焦点.

　 若l⊥x轴，则l的方程为.

若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得　　　　　　 .

综上可知　 .

(2)设，则CD的垂直平分线的方程为

假设过F，则整理得

，.

这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

　　　　　　 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

　　　 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

　　　　　　 讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

　　　 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即　 　|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在双曲线的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.