2．有关范围问题
例7 (2001春季高考题)
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。
(1)求a的取值范围；
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1)，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式得：
,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。
例8 (1992年高考题)
已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：.
分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。
由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A(x1,y1),B(x2,y2),则有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B在椭圆上，所以，
，从而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得：
例9 (2000年高考题)
已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。
分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
依题意，记A(-C,0)，C(h)，E(x0,y0),其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。
由,即(x0+c,y0)=
(-x0,h-y0)得:x0=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得
将(1)式代入(2)式,整理得(4-4)=1+2,故=1.
依题设得,解得.
所以双曲线的离心率的取值范围是.
例10 已知抛物线y2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。
分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。
设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=(
x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。
又=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：
0<p<.
是否存在常数a、b、c，使函数f(x)=满足下列条件：
(1)函数f(x)是奇函数；
(2)；f(1)<f(3)
；
(3)不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]？
若存在，则求出不等式f(-2+sinθ) ≤m对任意θ∈R恒成立的实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
解：由函数f(x)是奇函数得：b=0。又不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)=的根，从而:
,解得：a=2，c=-4，故：
f(x)= 。
的准线方程是y=2，则a的值为 ( B )
B．－
4.
A 5. B 6. 
，得
在抛物线方程中
得
是一个定值。
当
时，
的面积最小，其最小面积为1。