23.(03天津)本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:由题设可知,记设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为 所以,当时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是
(Ⅱ)解法一:P至三镇的最远距离为
由解得记于是
当即时,在[上是增函数,而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中
解法二:P至三镇的最远距离为 由解得
记于是
当的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.
当即的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.
答:当时,点P的坐标为当,点P的坐标为(0,0),其中
解法三:因为在△ABC中,AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上,其坐标为,
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上,记P为P1;当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,
若(如图1),则点M在线段AO上,
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A,且P1C≥MC,P2A≥MA,所以点P与外心M
重合时,P到三镇的最远距离最小.
若(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A,
且P1C≥OC,P2A≥OC,所以点P与BC边中点O重合时,
P到三镇的最远距离最小为.
答:当时,点P的位置在△ABC的外心
;当时,点P的位置在原点O.