综合测试题(1)参考答案

一、选择题

1.C　 2.D　 3.C　 4.D　 5.C　 6.A.　 7.A　 8.D　 9.C　 10.B　 11.C　 12.C

二、填空题

13． 8　　 14. 14　　 15． 　　　　16． 54

三、解答题

17．(I)由题意a+b=(cosα+cosβ, sinα+sinβ), a-b=(cosα-cosβ, sinα-sinβ)

∵(a+b).(a-b)= (cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

= cos²α-cos²β+ sin²α-sin²β=1-1=0

∴a+b 与a-b互相垂直.

(II) ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ), a-kb=(cosα-kcosβ, sinα-ksinβ)

|ka+b|＝　　　 , |a-kb|=

由题意,得4cos(β-α)=0,　 因为0＜α＜β＜π ,所以β-α=

18．(I)以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. ∵AC＝2a，∠ABC＝90º. ∴AB＝BC＝a. 从而B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0), A₁(a，0，3a)，B₁(0，0，3a)，C₁(0，a，3a), D(，3a)，E(0，).………………2分 ∴).　　 而 . ………4分 ∴cosθ＝ ∴θ＝arctan　　　 …………6分 (II)设AF＝x，则F( a，0，x)　　 …………7分 +x×0＝0　　　 ∴……………10分 要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F ，由＝2a²+x(x－3a)＝0 有x＝a或x＝2a 故当AF＝a，或AF＝2a时，CF⊥平面B₁DF.…………………12分

19.⑴由题意,存款量g(x)=kx²,银行应支付的利息h(x)=x.g(x)=kx³ . ……4分

⑵设银行可获收益为y, 则y=0.048.kx²- kx³ ；　

　y^/=0.096.kx-3kx² …………………6分

令y^/=0即0.096.kx-3kx²=0　 解得x=0或x=0.032

又当x∈(0,0.032)时 , y^/＞0,当 x∈(0.032,0.048)时,y^/＜0.　　　 ………8分

∴y在(0,0.032)内单调递增,在(0.032,0.048)内单调递减；

故当x=0.032时, y在(0,0.048)内取得极大值,也是最大值.

故存款的利率为3.2%，银行可获得最大收益.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………12分

20．设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.……………4分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由余弦是理得

　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

即

整理得.　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分

要使上式在(0，1)范围内有实数解，则有且

解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………10分

　 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.…………12分

21．⑴

　　 ⑵由⑴知

22．⑴ 依题意有,化简为 由违达定理, 得

解得 　　　　　　……………2分

代入表达式，由

得 不止有两个不动点，

　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　………………4分

⑵由题设得　　　 　(*)

且　　　　　　　　　 (**)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

由(*)与(**)两式相减得：

解得(舍去)或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，. ……9分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

⑶采用反证法，假设则由(I)知

,

有，而当

这与假设矛盾，故假设不成立.　　 ∴a_n<3　　　　　　　　 ……………14分