开放与探索水平测试参考答案

一． 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

1．A 　2．C　　 3．A　　 4．D　 5．D 　6．C　 7．B　 8．B　9．A　10．A　11．C　12．B

二． 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13．②④　　　 14．①④　15．用代数的方法研究图形的几何性质．

16．3　　　 当n为偶数时，；当n为奇数时，

三． 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．思路点拨：解答时首先应该读懂题意，不必深究这到底是一个什么变换，是否存在这样的直线其实质就是(x，y)与(两点是否均在同一直线上，从而转换为讨论方程组的解的问题。

详细解答：假设存在这样的直线，∵平行于坐标轴的直线显然不符合条件，故可设所求的直线方程为y＝kx+b(k≠0)该直线上任何一点(x，y)经过变换后得到点(仍旧在该直线上。∴＝k(+b，也就是

，∵无解，故不存在这样的直线。

当b=0时由，解得k=或k=，所以满足条件的所有直线为y=x或y=x。

18．解：⑴f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．　　　　　　　 ①

设(x)=x²－ax－2，

方法一：①－1≤a≤1，

　∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ′(－1)=0以及当a=－1时，f ′(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}．

方法二：①或0≤a≤1或－1≤a<0

－1≤a≤1．

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}．

⑵由=，得x²－ax－2=0，　　 ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两实根，∴

从而|x₁－x₂|==．

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立．　　　　　　　 ②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：②m≥2或m≤－2．

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}．

方法二： 当m=0时，②显然不成立；　　 当m≠0时，

②或　m≥2或m≤－2．

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}．　　　

19．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．

　　　 ∵i=(1，0)，c=(0，a)，　 ∴

　　　 因此，直线OP和AP的方程分别为　 y=ax和y－a=－2ax ．

　　　 消去参数，得点P(x，y)的坐标满足方程y (y－a)=－2a²x² ，

　　　 整理得　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 因为a>0，所以得：

　　 (i)当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　　 (ii)当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E和

　　　　 为合乎题意的两个定点；

　 (iii)当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F))为合乎题意的两个定点．

20．解：⑴。除第N组外的每组至少含有个数

　　　 ⑵当第n组形成后，因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即

　　　 由此可得

　　　 因为，所以

　　 ⑶用反证法证明结论，假设，即第11组形成后，还有数没分完，由(I)和(II)可知，余下的每个数都大于第11组的余差，且

　　　 故余下的每个数　　　 (*)

　　　 因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于

　　　 此时第11组的余差

这与(*)式中矛盾，所以

21．(1) a₁=²=100,由S₃=(a₁+a₃)=255,得a₃=³=70．

由得

　 ∴点P₃的坐标可以为(2, )．

　(2) [解法一]原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a．

　　　 ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+(n－1)d≥b²,

　　　 ∴≤d<0． ∵n≥3,>0

　　　 ∴S_n=na²+d在[,0)上递增,

　 故S_n的最小值为na²+.=．

　 [解法二]对每个自然数k(2≤k≤n),

由解得y=

　　　　 ∵0< y≤b²,得≤d<0

　　　　 ∴≤d<0

　　　 以下与解法一相同．

　　 (3) [解法一]若双曲线C:－=1,点P₁(a,0),

　　 则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是d>0．

　　 ∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[|a|,+∞),且|OP₁|=a²,

　　 ∴点P₁, P₂,…P_n存在当且仅当²>²,即d>0．

　　 [解法二]若抛物线C:y²=2x,点P₁(0,0),

　　 则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是d>0．理由同上

　　 [解法三]若圆C:(x－a)+y²=a²₍a≠0₎, P₁(0,0),

　　　 则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是0<d≤．

　　　 ∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2|a|,

　　 且|OP₁|=0, ∴d>0且|OP_n|²=(n－1)d≤4a²．即0<d≤．

22．解：⑴如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．

　　　　　　 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．

　　　　　　 ⑵依上面剪拼的方法，有V_柱>V_锥．

　　　　　　 推理如下：

　　　　　　 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为现在计算它们的高：

　　　　　　 所以，V_柱>V_锥．

　　　　　　 ⑶如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．