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3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号).

①X、Y、Z是直线　 ②X、Y是直线，Z是平面　 ③Z是直线，X、Y是平面　 ④X、Y、Z是平面

、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.

答案：②③

4.设a,b是异面直线，下列命题正确的是__.④_______.

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直

④过a一定可以作一个平面与b平行

例二：两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识。

知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线_(内)∥线_(外)线_(外)∥面.或转化为证两个平面平行.

技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°　　

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE.

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴MN∥平面BCE.

［例2］在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC₁；

(2)过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由.

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，

知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.

(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，∴AD⊥侧面BB₁C₁C

∴AD⊥CC₁.

(2)证明：延长B₁A₁与BM交于N，连结C₁N

∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁

∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁

∴C₁N⊥C₁B₁

∵底面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C

∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C

∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C.

(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.

过M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C

∴ME⊥侧面BB₁C₁C，又∵AD⊥侧面BB₁C₁C.

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB₁C₁C，∴AM∥DE

∵CC₁⊥AM，∴DE∥CC₁

∵D是BC的中点，∴E是BC₁的中点

∴AM=DE=AA₁，∴AM=MA₁.

课堂小结：垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：