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　　 例1、已知集合M={y|y=x²+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x²+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x，y)|y=x²+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x²+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B+{x|x²-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。

解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}

当B=φ时，△=m²-8<0

∴

当B={1}或{2}时，，m无解

当B={1，2}时，

∴ m=3

综上所述，m=3或

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。

解题思路分析：

假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾

∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立)，所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。

解题思路分析：

利用“”、“”符号分析各命题之间的关系

　 DCBA

∴ DA，D是A的充分不必要条件

说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。

例5、求直线：ax-y+b=0经过两直线₁：2x-2y-3=0和₂：3x-5y+1=0交点的充要条件。

解题思路分析：

从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。

由 得₁，₂交点P()

∵ 过点P

∴

∴ 17a+4b=11

充分性：设a，b满足17a+4b=11

∴

代入方程：

整理得：

此方程表明，直线恒过两直线的交点()

而此点为₁与₂的交点

∴ 充分性得证

∴ 综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。