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例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图)，要求在①，②，③，④个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色。

(1)若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？

(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n。

解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定决的着色方法数。因此

　 (1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法。

∴ 共有着色方法6×5×4×4=480种

　 (2)与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)

由n(n-1)(n-2)(n-3)=120

∴ (n²-3n)(n²-3n+2)-120=0

即(n²-3n)²+2(n²-3n)-12×10=0

∴ n²-3n-10=0

∴ n=5

例2、计算下列各题：

　 (1)

　 (2)

　 (3)

解：(1)原式=

　　　 (2)原式=

　　 (3)原式=

　　　　　　　　 =

例3、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？

(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)平均分成三份，每份2本；

(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；

(6)分成三份，一份4本，另两份每份1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本(均只要求列式)

解：(1)；

　　　 (2)

　　　 (3)

　　　 (4)

　　　 (5)

　　　 (6)

　　　 (7)

评注：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。

例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(　　 )

A、150种　　　 　　 B、147种　　　　 　　　　 C、144种　　　　 　　　　 D、141种

解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有(种)

例5、求(4+2x+x²)(2-x)⁷的展开式中x⁵的系数。

解：(4+2x+x²)(2-x)⁷=(8-x³)(x-2)⁶

　　　　　　　　　 =(8-x³)[(x⁶-2C₆¹x⁵+(-2)²C₆²x⁴+(-2)³C₆³x³+(-2)⁴C₆⁴x²+…]

∴ 含x⁵的项为-2×8×C₆¹.x⁵-(-2)⁴C₆⁴x⁵=-336x⁵

∴ x⁵的系数为-336

例6、已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。

(1)求展开式里所有的x的有理项；

(2)求展开式里系数最大的项。

解：(1)∵

由题设可知

解得n=8或n=1(舍去)

当n=8时，通项

据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8

∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，

(3)设第r+1项的系数t_r+1最大，显然t_r+1>0，故有≥1且≤1

∵

由≥1得r≤3

又∵

由≤1得：r≥2

∴ r=2或r=3所求项为和

例7、设a>1，n∈N，且n≥2，求证：

证明：设，则(x+1)ⁿ=a

欲证原不等式，即证nx<(x+1)ⁿ-1，其中x>0

∵

即(x+1)ⁿ>nx+1，原不等式成立。

评注：由于(a+b)ⁿ的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。

例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品。

解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6²=36种不同取法

　 (1)取到的2只都是次品情况为2²=4种，因而所求概率为

　 (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为

　 (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为

例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：

(1)恰有1人译出的密码的概率；

(2)至多1人译出的密码的概率；

(3)若达到译出的密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人。

解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F。

　 (1)“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是，另一种是。这两种情况不能同时发生，是互斥的。

∴

　 (2)“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的

∴

　 (3)n个乙这样的人都译不出密码的概率为，根据题意得：　

　　 解得：n=16

例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根(1≤r≤n)的概率。

解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。

由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是。

由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：