例1、求下列极限　 (1)　 (2)) 解题思路分析： (1)因分子及分母的次数随n增大而增加，故不能利用运算性质。先求和化简。　 ∴ (2)当x→1时，及均无意义，应约去因式x-1 ∵ ∴ 说明：函数在x=1 无定义，但与存在无关。一般地有下列结论：如果f(x)=x0处无定义，g(x)在x=x0处有定义并存在极限，且当x≠x0时，f(x)=g(x)，则。例2、设函数y=ax3+b——青夏教育精英家教网—

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例1、求下列极限

　 (1)　 (2))

解题思路分析：

(1)因分子及分母的次数随n增大而增加，故不能利用运算性质。先求和化简。

　

∴

(2)当x→1时，及均无意义，应约去因式x-1

∵

∴

说明：函数在x=1 无定义，但与存在无关。一般地有下列结论：如果f(x)=x₀处无定义，g(x)在x=x₀处有定义并存在极限，且当x≠x₀时，f(x)=g(x)，则。

例2、设函数y=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。

解题思路分析：

　 P(0，d)

∵ 曲线在点P处切线为12x-y-4=0

∴ x=0时，y=d

∴ d=-4

∵ y’=3ax²+2bx+c

∴ y’|_x=0=c

又切线斜率k=12

∴ c=12

又函数在x=2处取得极值0

∴

∴

∴

∴ 函数解析式y=2x³-9x²+12x-4

例3、偶函数f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)求y=f(x)的极大(小)值。

解题思路分析：

∵ f(x)是偶函数

∴ b=d=0

又图象过P(0，1)

∴ e=1

此时f(x)=ax⁴+cx²+1

∵ y’=4ax³+2cx

∴ y’|_x=1=4a+2c=1　　　　　 ①

又切点(1，-1)在曲线上

∴ a+c+1=-1　　　　　　　　 ②

由①②得：

∴ f(x)=

　 (2)f’(x)=10x³-9x=0

∴ x=0，x=

列表可得：时，f(x)_极小=

　　　　　 x=0时，f(x)_极大=1

例4、曲线上哪一点的法线在y轴上截距最小？(法线是指过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线)

解题思路分析：

在曲线上任取一点(x₀，y₀)，则过该点切线的斜率为k=2x₀⁵

∴ 法线的斜率为

∴ 法线方程y-y₀=

令x=0，使法线在y轴上的截距

　

∴

令y’=0，得x₀=±1

当x₀<-1时，y’<0，∴y单调递减

当-1<x₀<0时，y’>0，∴y单调递增

当0<x₀<1时，y’<0，∴y单调减小

当x₀>1时，y’>0，则y单递增

∴ 当x₀=±1时，，此时点(±1，)

例5、研究函数f(x)=ax³+bx²-x+1的单调性(a≠0)

解题思路分析：

　
1、a>0时，由f’(x)>0得或

　得

∴ f(x)在(-∞，，，+∞)上单调递增；在上单调递减。
题目来源：第十二讲复习极限与导数