1.代数应用题
例1．在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,…an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…an推出的a=______________．
分析：本题是与其它学科相关的数学应用问题，要正确理解题意，并能把文字语言转化为符号语言．
解：依题意，本题即是求使 的最小值时，a的取值．
∵ ，
故当 时，f(a)最小．
例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳锐，超过500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
(A)800-900元 (B)900元-1200元 (C)1200-1500元 (D)1500-2000元
分析：注意分类讨论思想的应用．
思路一：若收入1300元应纳税：500×5%=25元<26.78元
∴此人收入超过1300元，淘汰A、B．
若收入1500元应纳税：500×5%+200×10%=45元>26.78元
∴此人收入低于1500元，排除D，故选C．
思路2：设全月应纳税所得额为x元．
当x<500时，由题意知 x.5%=26.78
∴ 故与题意不符合．
当500<x<2000元时，则500×5%+(x–500) ×10%=26.78
∴x=517.8
∴当月工资、薪金所得额为800+517.8=1317.8元．
故选C．
例3．设计某高速公路时，要求最低车速50千米/小时，最小车距为l千米(l是定值)，并且车速v与车距d之间必须满足关系 ,求：
(Ⅰ)常数k的值：
(Ⅱ)这条高速公路的一条车道上每小时的最高车流量．(单位时间车流量=车速/车距)
解：(Ⅰ)由题意，将v=50，d=l代入解析式中可求得
(Ⅱ) ．
设每小时车流量为Q，则
(由实际问题， 皆为正值)
当且仅当 ，即 时等号成立．
而 所以当车速为 千米/小时，此高速公路一条车道上每小时的最大车流量为 辆．
例4.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示．
图一
图二
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(x)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，向何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
分析：要根据函数图象正确建立函数关系式，然后求最值．
解：由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为，
Ⅱ)设t时刻的纯收益h(t),则由题意得．
当0≤t≤200时，配方整理得
，
∴t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当 时，配方整理得，
∴当t=300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
例5某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营每年资金增长率均为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费资金后)，那么每年扣除消费基金x应是多少万元(精确到万元)？
解：依题意，第一年年底扣除消费资金后，投入再生产资金为1000+1000×50%–x=1000×
第二年投入再生产资金为
……
第五年投入再生产资金为
化简得：
故x≈424(万元)
答：每年扣除消费资金为424元．
说明：本题关键是寻求每年投入再生产资金的规律，构造数列模型来解题．
例6在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：t(h)台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是，
其中t+60，
若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有
即
即， 解得.
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭
例7、有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. (Ⅰ)解：由题设可知，记设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中
解法二:P至三镇的最远距离为 由解得
记于是
当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.
当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.
答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为(0，0)，其中
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，
若(如图1)，则点M在线段AO上，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
若(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，
且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，
P到三镇的最远距离最小为.
答：当时，点P的位置在△ABC的外心
；当时，点P的位置在原点O.
例8、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2002年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆……，每年新增汽车万辆，则
，
对于，有
………………
∴
当，即时，
当，即时，并且数列逐项增加，可以任意靠近
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
则，即(万辆)
综上，每年新增汽车不应超过万辆。
例9、
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。
(I)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(II)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)
本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。
解：(I)当时，
当时，
所以
(II)设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则
当时，
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。
例10、本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.
某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，
随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)
该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)
到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？
解.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中
则在2010年应该投入的电力型公交车为(辆)。
(2)记，依据题意，得。于是(辆)，即，
则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。
