这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 　 例1　 定义在R上的函数满足：且，求的值。 　　 解：由， 　　 以代入，有， 　　 为奇函数且有 　　 又由 　　 　　 故是周期为8的周期函数， 　　 　 例2　 已知函数对任意实数都有，且当时， ，求在上的值域。 　　 解：设 　　 且， 　　 则， 　　 由条件当时， 　　 　　 又 　　 　　 为增函数， 　　 令，则 　　 又令　 　　 得　 　　 ， 　　 故为奇函数， 　　 ， 　　 上的值域为

　　 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。 　 例5　 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。 　　 解：设且 　　 则 　　 ， 　　 即， 　　 　　 故为增函数， 　　 又 　　 　　 因此不等式的解集为。

　 例6　 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。 　　 分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出(T为非零常数)则为周期函数，且周期为T。 　　 证明： 　　 　 　　 得 　　 由(3)得 　　 由(3)和(4)得。 　　 上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。 　 例7　 已知对一切，满足，且当时，，求证：(1)时，(2)在R上为减函数。 　　 证明：对一切有。 　　 且，令，得， 　　 现设，则，， 　　 而 　　 　　 ， 　　 设且， 　　 则 　　 　　　　 　　 ， 　　 即为减函数。

　　 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。 　 例8　 设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。 　　 (1)证明； 　　 (2)证明：在R上是增函数； 　　 (3)设， 　　 ，若，求满足的条件。 　　 解：(1)令得， 　　 或。 　　 若，当时，有，这与当时，矛盾， 　　 。 　　 (2)设，则，由已知得，因为，，若时，，由 　　 　　 (3)由得 　　 由得　　 (2) 　　 从(1)、(2)中消去得，因为 　　 ， 　　 即 　 例9　 定义在()上的函数满足(1)，对任意都有， 　　 (2)当时，有， 　　 (1)试判断的奇偶性；(2)判断的单调性； 　　 (3)求证。 　　 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。 　　 解：(1)对条件中的，令，再令可得 　　 ，所以是奇函数。 　　 (2)设，则 　　 ， 　　 ，由条件(2)知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在(0，1)上仍是单调减函数。 　　 (3) 　　 　　 　　 抽象函数问题分类解析 　　 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。1. 求定义域 　　 这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 　 例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___。 　　 分析：因为相当于中的x，所以，解得 或。 　 例2. 已知的定义域为，则的定义域是______。 　　 分析：因为及均相当于中的x，所以 　　 　　 (1)当时，则 　　 (2)当时，则

2. 判断奇偶性 　　 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。 　 例3. 已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 　　 分析：在中，令， 　　 得 　　 令，得 　　 于是 　　 故是偶函数。 　 例4. 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数 是偶函数。 　　 证明：设图象上任意一点为P() 　　 与的图象关于原点对称， 　　 关于原点的对称点在的图象上， 　　 　　 又 　　 　　 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。

3. 判断单调性 　　 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 　 例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 　　 A. 增函数且最小值为　　　　　　 B. 增函数且最大值为 　　 C. 减函数且最小值为　　　　　　 D. 减函数且最大值为 　　 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。 图1 　 例6. 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 　　 分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下： 　　 任取 　　 因为在上是减函数，所以。 　　 又是偶函数，所以 　　 ， 　　 从而，故在上是增函数。 图2