9. 研究函数的图象 　　 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。 　 例13. 若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称。 　　 分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。 　 例14. 若函数的图象过点(0，1)，则的反函数的图象必过定点______。 　 　分析：的图象过点(0，1)，从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。

10. 求解析式 　 例15. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数 　　 A. 　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　 D. 　　 分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。 　　 点关于直线的对称点适合，即。 　　 又， 　　 　　 即，选B。 抽象函数的周期问题 --由一道高考题引出的几点思考 　　 2001年高考数学(文科)第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。 　　 (I)设求； 　　 (II)证明是周期函数。 　　 解析：(I)解略。 　　 (II)证明：依题设关于直线对称 　　 故 　　 又由是偶函数知 　　 　　 　　 将上式中以代换，得 　　 　　 这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期 　　 是偶函数的实质是的图象关于直线对称 　　 又的图象关于对称，可得是周期函数 　　 且2是它的一个周期 　　 由此进行一般化推广，我们得到 　　 思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。 　　 证明：关于直线对称 　　 　　 又由是偶函数知 　　 　　 将上式中以代换，得 　　 　　 是上的周期函数 　　 且是它的一个周期 　　 思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。 　　 证明：关于直线对称 　　 　　 将上式的以代换得 　　 　　 　　 是上的周期函数 　　 且是它的一个周期 　　 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？经过探索，我们得到 　　 思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。， 　　 证明：关于对称 　　 　　 又由是奇函数知 　　 　　 将上式的以代换，得 　　 　　 是上的周期函数 　　 且4是它的一个周期 　　 是奇函数的实质是的图象关于原点(0，0)中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到 　　 思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。 　　 证明：关于点对称 　　 　　 关于直线对称 　　 　　 将上式中的以代换，得 　　 　　 是上的周期函数 　　 且是它的一个周期 　　 由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到 　　 思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。 　　 证明：关于对称 　　 　　 将上式中的以代换，得 　　 　　 是周期函数 　　 且是它的一个周期 抽象函数解法例谈 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法 1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入 3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法. 总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.

1．已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t为自然数,(t>0)试求f(t)的表达式 ②满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由 ③若t为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.

2．已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数.　 g(m) . g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证：①f(x)是R上的增函数 ②当nN,n≥3时,f(n)> 解: ①设x1>x2 　 g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 　 g(x1) > g(x2) >0 　 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0 　　 　>　>0 　　 　-　>0 　　 f(x1)- f(x2)=- =1--(1-) 　　　　　　 =->0 　 f(x1) >f(x2) 　 f(x)是R上的增函数 ②　 　g(x) 满足g(m) . g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且g(x)>0 　 g(n)=[ g(1)]n=2n 　 当nN,n≥3时, 2n>n 　　 f(n)=＝1-　 ，＝1- 　 2n＝(1+1)n＝1+n+…++…+n+1>2n+1 　 2n+1>2n+2 <,即1->1- 当nN,n≥3时,f(n)>

3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设 f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)| ①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a>0、b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证明:设 x1>x2>0 f1(x) 在(0,+∞)上单增 f1(x1)－ f1(x2)>0 | f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0 | f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)| f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) f(x1)> f(x2) f (x)在(0,+∞)上单增 ②F(x)=x f (x), a>0、b>0 a+b>a>0,a+b>b>0 F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b) f (x)在(0,+∞)上单增 F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)

5．定义在(-1，1)上的函数f (x)满足 ①　 任意x、y∈(-1，1)都有f(x)+ f(y)＝f ()，②x∈(-1，0)时， 有f(x) >0 1)　 判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由 2)　 判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明 3)　 求证：f ()＝f ()－f () 或f ()+f ()+…+f ()> f ()　 (n∈N*) 　解:1) 定义在(-1，1)上的函数f (x)满足任意x、y∈(-1，1) 都有f(x)+ f(y)＝f (),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) 　　　 　f(0)=0 　　　 　　当-x=y时, f(x)+ f(-x)＝f(0) 　 f(x)是(-1，1)上的奇函数 2) 设0>x1>x2>-1 f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)= 0>x1>x2>-1 ,x∈(-1，0)时， 有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0 >0 即f(x)在(-1，0)上单调递增. 3) f ()=f() =f(　)=f() =f()-f() f ()+f ()+…+f () =f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f() = f() -f()=f()+f(-) x∈(-1，0)时，有f(x) >0 f(-)>0, f()+f(-)>f() 即f ()+f ()+…+f ()> f () 1)　 　

6．设 f (x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对任意x1、x2[0,]都有f (x1+ x2)＝f(x1) .f(x2), 且f(1)=a>0. ①求f ()及 f (); ②证明f(x)是周期函数 ③记an=f(2n+), 求(lnan) 解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]20,f(x) a= f(1)=f(2n. )=f(++…+)＝[f ()]2 解得f ()= 　f ()=,f ()=. ② f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, 　 f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x). 　 f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). f(x)是以2为周期的周期函数. ③ an=f(2n+)= f ()= (lnan)= =0

7．设是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有 f(x+y)＝f(x)f(y) ①求f(0)， ②设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0<f(x)<1, ③设a1=,an=f(n)(n∈N* )，sn为数列{an}前n项和，求sn. 解：①②仿前几例，略。 ③an＝f(n)， 　a1＝f(1)＝ an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an 数列{an}是首项为公比为的等比数列 sn＝1- 　sn＝1

8．设是定义在区间上的函数，且满足条件： 　 (i) 　 (ii)对任意的 　 (Ⅰ)证明：对任意的 　 (Ⅱ)证明：对任意的 　 (Ⅲ)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得 　　　　 　 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. (Ⅰ)证明：由题设条件可知，当时，有 即 (Ⅱ)证法一：对任意的 当不妨设则 所以， 综上可知，对任意的都有 证法二：由(Ⅰ)可得，当　所以，当因此，对任意的 当时，当时，有 且 所以 综上可知，对任意的都有 (Ⅲ)答：满足所述条件的函数不存在. 　　 理由如下，假设存在函数满足条件，则由 　 得　 又所以① 　 又因为为奇数，所以由条件 得 ②　 ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在. 练习:

1. 函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)-1，且x>0时，f(x) >1 ①求证f(x)是R上的增函数 ②若f(4)＝5，解不等式f(3x2-x-2)<3