4．函数y＝f(x)满足 ①f(a+b)＝f (a).f (b)，②f(4)＝16, m、n为互质整数，n≠0 求f()的值 f(0) =f(0+0)=f(0) .f(0)=f2(0) f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) .f(4)=0.(矛盾) f(1)=1 f(4)=f(2) .f(2)=f(1) .f(1) .f(1) .f(1)=16 f(1)=f2()≥0 f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数. f(0)=f(a+(-a))=f(a) .f(-a) f(-a)= n∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-n f(1)=f(++…+)=fn()=2 f()= f()=[f()]m=

5．定义在(-1，1)上的函数f (x)满足 ①　 任意x、y∈(-1，1)都有f(x)+ f(y)＝f ()，②x∈(-1，0)时， 有f(x) >0 1)　 判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由 2)　 判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明 3)　 求证：f ()＝f ()－f () 或f ()+f ()+…+f ()> f ()　 (n∈N*) 　解:1) 定义在(-1，1)上的函数f (x)满足任意x、y∈(-1，1) 都有f(x)+ f(y)＝f (),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) 　　　 　f(0)=0 　　　 　　当-x=y时, f(x)+ f(-x)＝f(0) 　 f(x)是(-1，1)上的奇函数 2) 设0>x1>x2>-1 f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)= 0>x1>x2>-1 ,x∈(-1，0)时， 有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0 >0 即f(x)在(-1，0)上单调递增. 3) f ()=f() =f(　)=f() =f()-f() f ()+f ()+…+f () =f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f() = f() -f()=f()+f(-) x∈(-1，0)时，有f(x) >0 f(-)>0, f()+f(-)>f() 即f ()+f ()+…+f ()> f () 1)　 　

6．设 f (x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对任意x1、x2[0,]都有f (x1+ x2)＝f(x1) .f(x2), 且f(1)=a>0. ①求f ()及 f (); ②证明f(x)是周期函数 ③记an=f(2n+), 求(lnan) 解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]20,f(x) a= f(1)=f(2n. )=f(++…+)＝[f ()]2 解得f ()= 　f ()=,f ()=. ② f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, 　 f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x). 　 f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). f(x)是以2为周期的周期函数. ③ an=f(2n+)= f ()= (lnan)= =0

7．设是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有 f(x+y)＝f(x)f(y) ①求f(0)， ②设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0<f(x)<1, ③设a1=,an=f(n)(n∈N* )，sn为数列{an}前n项和，求sn. 解：①②仿前几例，略。 ③an＝f(n)， 　a1＝f(1)＝ an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an 数列{an}是首项为公比为的等比数列 sn＝1- 　sn＝1

8．设是定义在区间上的函数，且满足条件： 　 (i) 　 (ii)对任意的 　 (Ⅰ)证明：对任意的 　 (Ⅱ)证明：对任意的 　 (Ⅲ)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得 　　　　 　 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. (Ⅰ)证明：由题设条件可知，当时，有 即 (Ⅱ)证法一：对任意的 当不妨设则 所以， 综上可知，对任意的都有 证法二：由(Ⅰ)可得，当　所以，当因此，对任意的 当时，当时，有 且 所以 综上可知，对任意的都有 (Ⅲ)答：满足所述条件的函数不存在. 　　 理由如下，假设存在函数满足条件，则由 　 得　 又所以① 　 又因为为奇数，所以由条件 得 ②　 ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在. 练习:

2.f(x)是R上的函数, 对任意的实数x1、x2都满足f(x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2), 当x>0时，f(x) >0且f(2)=3 ①试判断f(x)的奇偶性和单调性 ②当θ∈[0,]时, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求n1实数的取值范围

3.f (n)是定义在N上且取值为整数的严格单增函数，m、n互质时f(m.n)＝f (m).f (n) 若f(19)＝19，求f(f(19) .f(98))的值

4. f (x)定义域为R，对任意x1、x2　R都有f (x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2)， 且x>0时，f(x) <0、f(1)＝-2 ①试判断f (x)的奇偶性 ②试判断在[-3，3]上，f (x)是否有最大值或最小值？如果有求之，如果没有，说明理由　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③解关于x的不等式 f(bx2)－f(x)> f(b2x)－f(b)(b2≠2)

5.f (x)定义域为R，对任意实数m、n都有f(m+n)＝f (m).f (n)，且当x>0时，0< f (x) <1 ①求f (0)证明x<0时 f (x) >1. ②证明f(x)在R上单减，并举出一个满足①②的函数f(x) ②　 设A＝，B＝，若A∩B＝求a取值范围

6.定义在(0，+∞)上的函数f (x)满足 ①对于任意正数x、y都有f (x.y)＝f(x)+ f(y)， ②f (2)＝p－1，③x>1时总有f(x)<p 2)　 求f (1)及f ()的值(写成关于p的表达式) 3)　 求证：f (x)在(0，+∞)上是减函数 设an＝ f (2n)(n　N*)，数列的前项和为Sn ，当且仅当n＝5时Sn取得最大值，求p的取值范围