3. (北京卷)设f(x)是定义在[0,
1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
(I)证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；
(II)对给定的r(0＜r＜0.5)，证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r；
(III)选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由(I)可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)
解：(I)证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*,
1]上单调递减．
当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1<x2<x*，从而f(x*)≥f(x2)>f(x1)，
这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*<≤x1<x2，从而f(x*)≥f(x1)>f(x2)，
这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.
(II)证明：由(I)的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得 1+x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②
将②代入①得
x1≤0.5－r, x2≥0.5－r，
③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5+r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5+r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．
(III)解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由(II)可知
x1+x2＝l，
④
在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下，x3的取值应满足
x3+x1＝x2，
⑤
由④与⑤可得,
当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．
4(上海)已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2-x-6.
(1)求k、b的值;
(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值.
[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,
==x+2+-5
由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立
∴的最小值是-3.
5,(上海)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x).g(x) 当x∈Df且x∈Dg
规定: 函数h(x)=
f(x) 当x∈Df且xDg
g(x)
当xDf且x∈Dg
(1) 若函数f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
(2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;
(3) 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.
在
上满足
，
，且在闭区间［0，7］上，只有
．
的奇偶性；
的对称轴为
,
,从而知函数
,故函数