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10.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数
(Ⅰ)求
的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线
轴仅有一个交点.
解：(I)
=3
－2
－1
若=0，则==－
，=1
当变化时，，变化情况如下表：
|
|
(－∞，－) |
－ |
(－，1) |
1 |
(1，+∞) |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
 |
极大值 |
|
极小值 |
|
∴的极大值是
，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线
=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知：
当的极大值
<0，即
时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当的极小值
－1>0即
(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。
∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。