11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = ( 　-2ax )　 (1) 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； (2)设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 解：(I)对函数求导数得 令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0 　解得 当　变化时，、的变化如下表 　 　　 　 　　 　 　 　 + 　　 0 　　 － 　　 0 　 + 递增 极大值 递减 　 极小值 　 递增 ∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。 当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数 而当时=，当x=0时， 所以当时，取得最小值 (II)当≥0时，在上为单调函数的充要条件是 　 即，解得 于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是 即的取值范围是

12. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分 则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24)5分 　 =4x3-276x2+4320x ∵V′=12 x2-552x+4320……7分 由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 ∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0, 所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分

13. ( 全国卷III)已知函数， (Ⅰ)求的单调区间和值域； (Ⅱ)设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围 解：对函数求导，得 　　　　　　　　 令解得 或 当变化时，、的变化情况如下表： x 0 　 0 　 所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 　　　　　 当时，的值域为 (Ⅱ)对函数求导，得 　　　　 因此，当时， 因此当时，为减函数，从而当时有 　　　　　 又，，即当时有 任给，，存在使得，则 即 解式得 或 解式得 又， 故：的取值范围为

14. (北京卷)已知函数f(x)=－x3+3x2+9x+a, (I)求f(x)的单调递减区间； (II)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 　　 解：(I) f ’(x)＝－3x2+6x+9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 　　 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，+∞)． 　　 (II)因为f(－2)＝8+12－18+a=2+a，f(2)＝－8+12+18+a＝22+a， 　　 所以f(2)>f(－2)．因为在(－1，3)上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a＝20，解得 a＝－2．　　 故f(x)=－x3+3x2+9x－2，因此f(－1)＝1+3－9－2＝－7， 　　 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

15．(福建卷)已知函数的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为. 　 (Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)求函数的单调区间. 解：(Ⅰ)由的图象经过P(0，2)，知d=2，所以 由在处的切线方程是，知 故所求的解析式是 (Ⅱ) 解得 　当 当 故内是增函数，在内是减函数， 在内是增函数.

17. (湖北卷) 已知向量在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围. 解法1：依定义 开口向上的抛物线，故要使在区间 (－1，1)上恒成立 . 解法2：依定义 的图象是开口向下的抛物线，

18．(湖南卷)设，点P(，0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线. (Ⅰ)用表示a，b，c； (Ⅱ)若函数在(－1，3)上单调递减，求的取值范围. 解：(I)因为函数，的图象都过点(，0)，所以， 　 　 即.因为所以. 　　　 　　　 又因为，在点(，0)处有相同的切线，所以 　　　 而 　　　 将代入上式得　 因此故，， (II)解法一. 当时，函数单调递减. 由，若；若 由题意，函数在(－1，3)上单调递减，则 所以 又当时，函数在(－1，3)上单调递减. 所以的取值范围为 解法二： 　　　 因为函数在(－1，3)上单调递减，且是(－1，3) 上的抛物线， 　　　 所以　 即解得 　　　 所以的取值范围为

19.(湖南卷)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2+bx，a≠0. 　 (Ⅰ)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； 　 (Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 解：(I)， 则 因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解. 又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解. ①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解； ②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解； 　 则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0. 　 综上所述，a的取值范围为(－1，0)∪(0，+∞). 　 (II)证法一　 设点P、Q的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2)，0<x1<x2. 　　　　 则点M、N的横坐标为 　　　　 C1在点M处的切线斜率为 　　　　 C2在点N处的切线斜率为 　　　　 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 　　　　 即，则 　　　　　　　　 = 　　　 所以　 设则① 　　　 令则 　　　 因为时，，所以在)上单调递增. 故 　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立. 　　　 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 证法二：同证法一得 　　　 因为，所以 　　　 令，得　 ② 　　　 令 　　　 因为，所以时， 　　　 故在[1，+上单调递增.从而，即 　　　 于是在[1，+上单调递增. 　　　 故即这与②矛盾，假设不成立. 　　　 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

20．(辽宁卷)函数在区间(0，+∞)内可导，导函数是减函数，且　设是曲线在点()得的切线方程，并设函数 　 (Ⅰ)用、、表示m； 　 (Ⅱ)证明：当； 　 (Ⅲ)若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 　　　　 求b的取值范围及a与b所满足的关系. 解：(Ⅰ)…………………………………………2分 　 (Ⅱ)证明：令 　　　　 因为递减，所以递增，因此，当； 　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的 最小值为0，因此即…………………………6分 　 (Ⅲ)解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 　　　　 对任意成立的充要条件是 　　　　 　　　 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用(II)的结果可知，的充要条件是：过点(0，)与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为 　　　 于是的充要条件是…………………………10分 　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　② 　　　 有解、解不等式②得　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 (Ⅲ)解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 　　　 对任意成立的充要条件是 　　　　 ………………………………………………………………8分 　　　 令，于是对任意成立的充要条件是 　　　 　由 　　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分 　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是 　　　 　　　　 ① 　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　 ② 　　　 有解、解不等式②得 　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

21. (山东卷)已知是函数的一个极值点，其中， (I)求与的关系式； (II)求的单调区间； (III)当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围. 解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以 (II)由(I)知，= 当时，有，当变化时，与的变化如下表： 1 0 0 　 　 　 　 　 　 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减. (III)由已知得，即 又所以即① 设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， 所以解之得又所以 即的取值范围为