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20．(辽宁卷)函数
在区间(0，+∞)内可导，导函数
是减函数，且
设
是曲线在点(
)得的切线方程，并设函数
(Ⅰ)用
、
、
表示m；
(Ⅱ)证明：当
；
(Ⅲ)若关于
的不等式
上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
解：(Ⅰ)
…………………………………………2分
(Ⅱ)证明：令
因为递减，所以
递增，因此，当
；
当
.所以是
唯一的极值点，且是极小值点，可知的
最小值为0，因此
即
…………………………6分
(Ⅲ)解法一：
，
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意
成立的充要条件是
另一方面，由于
满足前述题设中关于函数的条件，利用(II)的结果可知，
的充要条件是：过点(0，
)与曲线
相切的直线的斜率大于
，该切线的方程为
于是
的充要条件是
…………………………10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
(Ⅲ)解法二：
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令
，于是
对任意成立的充要条件是
由
当
时
当
时，
，所以，当
时，
取最小值.因此
成立的充要条件是
，即
………………10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分