数学试卷(文史类)参考答案与评分标准(理科) 2007/4

一、填空题

1．　　　　　 2．　　　　　 3．　　　　　 4．80　　　　 5．4　　　　　 6．5　　　　　 7．

8．　　　　　　　　 9．2　　　　　　　　　 10．　　　　　　　　　　　 11．③④①②或①④②③

12．已知空间四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则空间四边形余下的一组对边(对角线)互相垂直．

二、选择题

13．B　　　　　　　　　 14．A　　　　　　　　 15．D　　　　　　　　 16．A

三、解答题

17．解：由得：，所以，---------------4分

，　　 -------------------------------------------5分

----------------------------------------------7分

，--------------8分

　------------------10分　　 或　--------------------12分

18．解：(1)由已知：，即

，解得　 ---------------------------------4分

又，所以景区游客人数的范围是1000至1300人 -------------5分

(2)设游客的人均消费额为，则

----------------------9分

当且仅当时等号成立．　　 ----------------------------------------------------12分

答：当景区游客的人数为时，游客的人均消费最高，最高消费额为元．

19．解：(1)，得：，-----------------------------2分

　　　　　　　 由，

　　　　　　　 ，得到　　　　 -------------------------------------------------6分

(2)，

若，则，不合题意-----------------9分

故，-------------------------------11分

，所以，使不等式成立的最小正整数的值为15．-----------14分

20．解：(1)方法一：如图，分别以CA、DB为、轴建立空间直角坐标系．

因为，所以，，

，---------------4分　 -----------------6分

因为异面直线所成角为锐角，故异面直线与所成的角为----------------7分

　　　 方法二：见文科答案与评分标准．

(2)正子体体积不是定值．-------------8分

设与正方体的截面四边形为　　　　

，　 设

　　　 则----------------------------9分

　　　 故----------------------------------------------------------------------12分

　　　 -----------------------------14分

21．解：(1)∵对任意，，∴--2分

　　　 ∵不恒等于，∴--------------------------4分

　　 (2)设

①时，由　 解得：

由　 解得其反函数为　 ，-----------------6分

②时，由　 解得：

解得函数的反函数为，--------------------8分

∵

∴--------------------------------------------------------------------11分

(3)，的条件是：

存在反函数，且-----------------------------------------------13分

函数可以是：

；　　　　　　　　 ；

；　　　　　　　　 ；

或，；

或，．

以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：

给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得3分．

　属于以上同一类型的两个函数得1分；

写出的是与(1)、(2)中函数同类型的不得分；

　函数定义域或条件错误扣1分．

22．解：(1)由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，

所以抛物线的方程为．　 ----------------------------------------------------------4分

　　 (只要得到抛物线方程，都得4分)

(2)由，得，(或)

当，即且时，

　 (或)

①由，即，得，

所以．----------------------------------------------------------------------8分

②由①知，中点的坐标为，点，

．-------------------------------------12分

③由问题②知，的面积值仅与有关，由于

，所以与的面积

，设-------14分

由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积

看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，------------------------16分

所以

即，

因此，所求封闭图形的面积为．--------------------------------------------------------18分