4．[例]，已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。 分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径． [注2]本题立意与2007年高考题文科20题结构相似. 解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　 ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　 ② 由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3.2． 当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式． 综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2． 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． [问题3]函数与数列的综合题　 P51　 例3 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. P51　 例3已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。(Ⅰ)、求数列的通项公式；(Ⅱ)、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：(Ⅰ)设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 () (Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝， 故Tn＝＝＝(1－). 因此，要使(1－)<()成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

5．设，定义，其中n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若， 解：(1)＝2，，， ∴ ∴，∴数列{an}上首项为，公比为的等比数列， (2) 两式相减得：　

6．(湖北卷)设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。 (Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。 本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。 解：(I)依题意得，即。 当n≥2时，a; 当n=1时，×-2×1-1-6×1-5 所以。 (II)由(I)得， 故=。 因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。 [问题4]数列与解析几何 数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解. 例3．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列. ⑴求点的坐标；子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：. 解：(1) (2)的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为： 把代入上式，得，的方程为：。 ， = 点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。(1)、(2)两问运用几何知识算出.

7．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点． (Ⅰ)令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为 解：(1)因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得，　 故是以 为公比的等比数列；， [问题5]数列与算法

9.根据流程图,(1)求;(2)若,求n. [问题6]数列创新题

10.(安徽卷)数列的前项和为，已知 (Ⅰ)写出与的递推关系式，并求关于的表达式； (Ⅱ)设，求数列的前项和。 解：由得：，即，所以，对成立。 由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。 (Ⅱ)由，得。 而， ，

11.(福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列： (Ⅰ)求当a为何值时a4=0；(Ⅱ)设数列{bn­}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}； 　 (I)解法一： 　　　　 故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}

12. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项 解：由题意得：……………1分 　　　 即…………3分 又…………4分 又成等比数列, ∴该数列的公比为，………6分 所以………8分 又……………………………………10分 所以数列的通项为……………………………12分 课后训练:

1．如果-1，a, b,c,-9成等比数列，那么 A．b=3,ac=9　　 B.b=-3,ac=9　　　 C.b=3,ac=-9　 　 D.b=-3,ac=-9