网址：http://www.1010jiajiao.com/paper/timu/5152655.html[举报]
例1.(上海春) 设函数
.(1)在区间[-2,6]上画出函数
的图像；
(2)设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；
(3)当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数f(x)图像的上方.
解：(1)(要求列表描点) (2)方程
的解分别是
和
，由于
在
和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和
上单调递增，因此 
.
由于
.
(3)[解法一] 当
时，
.
，
. 又
，
① 当
，即
时，取
，
. 
， 则
.
② 当
，即
时，取
， 
＝
.
由
①、②可知，当
时，
，
.
因此，在区间
上，
的图像位于函数
图像的上方.
[解法二] 当
时，
.由
得
， 令 
，
解得 
或
，
在区间[-1,5]上，当时，
的图像与函数f(x)的图像只交于一点
；
当时，
的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线
过点
，当时，直线
是由直线
绕点
逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，
的图像位于函数f(x)图像的上方.
例2.(全国卷Ⅱ理17设函数
，求使
的
取值范围．
解：由于
是增函数，
等价于
①
⑴当
时，
，∴①式恒成立。
⑵当
时，
，①式化为
，即
。
⑶当
时，
，①式无解。 综上，的取值范围为
例3．已知函数
(a，b为常数)且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式； (2)设k>1，解关于x的不等式；
[正确解答](1)将
得
(2)不等式即为
即
①当
②当
③
.
例4.(全国II卷)设
，函数
若
的解集为A，
，求实数
的取值范围。
解：由f(x)为二次函数知
，令f(x)＝0解得其两根为
由此可知
(i)当
时，
的充要条件是
，即
解得
(ii)当
时，
的充要条件是
，即
解得
综上，使
成立的a的取值范围为
例5.(上海文22)(本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分)对定义域是
、
的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数
。
(1)若函数
，
，写出函数
的解析式；(2)求问题(1)中函数的值域； (3)若
，其中
是常数，且
，请设计一个定义域为R的函数
，及一个的值，使得
，并予以证明。
解(3)[解法一]令
则
于是
[解法二]令
，
则
于是
例6．设
的值域为[－1，4]，求a、b的值.
例7：已知函数f(x)=
,x∈［1,+∞
，(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
(1)解
当a=
时，f(x)=x+
+2
∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=
(2)解法一
在区间［1，+∞上，f(x)=
>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
解法二
f(x)=x+
+2,x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力
解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想