例1.(上海春) 设函数.(1)在区间[-2,6]上画出函数的图像；
(2)设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.
解：(1)(要求列表描点) (2)方程的解分别是和，由于在和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和上单调递增，因此 .
由于.
(3)[解法一] 当时，.
，
. 又，
① 当，即时，取，
. ， 则.
② 当，即时，取， ＝.
由
①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.由
得， 令 ，
解得 或，
在区间[-1,5]上，当时，的图像与函数f(x)的图像只交于一点；
当时，的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数f(x)图像的上方.
例2.(全国卷Ⅱ理17设函数，求使的取值范围．
解：由于是增函数，等价于①
⑴当时，，∴①式恒成立。
⑵当时，，①式化为，即。
⑶当时，，①式无解。 综上，的取值范围为
例3．已知函数(a，b为常数)且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式； (2)设k>1，解关于x的不等式；
[正确解答](1)将
得
(2)不等式即为
即
①当
②当
③.
例4.(全国II卷)设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
解：由f(x)为二次函数知，令f(x)＝0解得其两根为
由此可知
(i)当时，的充要条件是，即解得
(ii)当时，的充要条件是，即解得
综上，使成立的a的取值范围为
例5.(上海文22)(本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分)对定义域是、的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数。
(1)若函数，，写出函数的解析式；(2)求问题(1)中函数的值域； (3)若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。
解(3)[解法一]令则
于是
[解法二]令，
则
于是
例6．设的值域为[－1，4]，求a、b的值.
例7：已知函数f(x)=,x∈［1,+∞，(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
(1)解
当a=时，f(x)=x++2
∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=
(2)解法一
在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
解法二
f(x)=x++2,x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力
解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想
的解析式
B．
C．
D．