7．(北师大版第54页A组第6题)值域
变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，，，注意到函数定义不包含，所以函数值域是．
变式2：解：∵
y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]，
∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
变式3： 解：(I) ∵ f (1 + x)
= f (1－x)，
∴
－ = 1，
又方程
f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根，
∴
△= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －，
∴
f (x) = －x 2 + x．
(II) ∵ f (x)
为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，
1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，
∴ 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n (*)，
3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m，
两式相减得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)，
∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，
代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解．
2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，
∴ 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m，
3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n，
∴ m = －4，n = 0．
3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]，
∴ 3n = f (x)max
= f (1) = Þ n = 与 n≥1 矛盾．
综合上述知，存在
m = －4、n = 0 满足条件．
是偶函数 Þ 
Þ 
，
时，
是常数；当
时，
，在区间
上
是增函数，故选D．
且
，即
且
的坐标是
．
时，函数
，此时，
为偶函数；
时，
，
，
，
，此时
时，
，
，则函数
上单调递减，从而函数
，则函数
，且
．
时，函数
，
，则函数
，且
，
，则函数
上单调递增，从而函数
；
时，函数
；
．