例2、　　　　　 已知数列满足：。 解：由于是知 。 评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的。其中性质探求是关键。

例3、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2，3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为　　　　　　 . 解析：由椭圆第二定义知，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即|FP1|=，最大值为右焦点到左顶点的距离即|FP21|=，故若公差d>0,则同理若公差d<0,则可求得。 评析：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心。解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围。

例5、将自然数不清，2，3，4……排成数陈(如右图)，在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，….，则第2005个转弯处的数为____________。 解：观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，……”。故在第2005个转弯处的数为： 1+2(1+2+3+……+1002)+1003=1006010。 评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现。具体解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力。因此，它在高考中具有较强的选拔功能。

例6、下表给出一个“等差数阵”： 4 7 (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… 7 12 (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 　　 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。 (I)写出的值；(II)写出的计算公式； (III)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 　　 解：(I)(详见第二问一般性结论)。 　　 (II)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： ；　　 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： ， ……，第i行是首项为，公差为的等差数列，因此 　　 (III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得，从而　。 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 　　 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得， 从而可见N在该等差数阵中。 　　 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 评析： 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式。

例7、如图，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。记第n个图形的顶点数为，则=　 。　 解：由图易知：从而易知 评析：求解几何计数问题通常采用“归纳-猜想-证明”解题思路。本题也可直接求解。第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的，这个图形共由n+3个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第n个图形的顶点数为。

例8、如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和， 分别表示第n行的第一个数，第二个数，…….第n 个数。 求的通项式。 解：(1)由图易知从而知是一阶等差数列，即 以上n-1个式相加即可得到： 评析：“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求出的通项式。