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例6、下表给出一个“等差数阵”：
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4 |
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…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。
(I)写出
的值；(II)写出的计算公式；
(III)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
解：(I)
(详见第二问一般性结论)。
(II)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： 
； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： 
， ……，第i行是首项为
，公差为
的等差数列，因此
(III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
，从而
。
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
， 从而
可见N在该等差数阵中。
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
评析： 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式。