15．对大于2或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”： 　　　 ，，；，，，，… 　　　 则对进行类似的“分裂”时，“分裂”中的最大的数是____________；若已知在“分裂”中的最小数是21，则的值为______________． 　　　 [答案]9，5 　　　 提示：由得　“分裂”中的最大的数是9；又，而，故知若在“分裂”中的最小数是21，则的值为5．

16．已知函数． 　　　 (1)当时，求函数的单调递增区间； 　　　 (2)当且时，函数的值域为，求的值． 　　　 [解答]， 　　　 (1)当时，， 　　　 ∴当()时是增函数， 　　　 ∴的单调递增区间是()； 　　　 (2)由得， 　　　 ∴， 　　　 ∵，∴当时，取得最小值为3， 　　　 而当时，取得最大值为4， 　　　 即，解得，∴．

17．(本小题满分12分)如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连AC交BE于D点． 　　　 (1)用t表示向量和的坐标； 　　　 (2)求向量和的夹角的大小； 　　　 (3)求的取值范围。 　　　 [解答](1)＝((t+1)，－(t+1))， 　　 ∵＝t，∴＝t，＝，又＝(，)， 　　　 ＝－＝(t，－(t+2))；∴＝(，－)， 　　 ∴＝(，－)； 　　　 (2)∵＝(，－)， 　　　 ∴.＝.+.＝， 　　　 又∵||.||＝.， 　　　 ∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°； 　　　 (3)由(2).＝， 　　　 ∴.，且等号不能取得， 　　　 ∴.，所求范围是。

18．(本小题满分12分)一种电器控制器在出厂时每五件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和3件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试． 　　　 (1)求前两次取出都是二等品的概率； 　　　 (2)求第二次取出的是二等品的概率； 　　　 (3)用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的产品件数，求的分布列及数学期望． 　　　 [解答](1)五件产品逐一取出方法共有种， 　　　 前两次取出都是二等品的方法共有种， 　　　 所以前两次取出都是二等品的概率为 　　　 (2)第二次取出是二等品方法共有种， 　　　 所以第二次取出是二等品的概率是：； 　　　 (3)依题意， 　　　 ， 2 3 4 5 P 　　　 所以分布列为： 　　　 ∴．

19．(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC-A1B1­C1的棱长都是2，点A1与AB、AC的距离都等于，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1­C于F. 　　　 (1)求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；　　　　 　　　 (2)求点A到平面B1BCC1的距离； 　　　 (3)求平面A1EF与平面A1B1C1所成二面角的大小. 　　　 [解答](1)，∴B1B平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1； 　　　 (2)由于A1A//平面B1BCC1， 　　　 故点A、A1与平面B1BCC1的距离相等. 　　 ∵四边形ABB1A1为菱形，故A1E=A1F=， 　　　 ∵B1B⊥平面A1EF，EF平面A1EF， 　　　 ∴BB1⊥EF，从而EF=BC=2， 　　 ∴△A1EF是等腰直角三角形， 　　　 取EF中点M，则A1M⊥EF，且A1M=1， 　　　 从而A1M⊥平面B1BCC1，即A1到平面B1BCC1的距离为1； 　　　 (3)设平面A1EF与平面A1B1C1所成的二面角的棱为直线l，取B1C1的中点N， 　　　 则A1N⊥B1C1，但B1C1//EF，∴B1C1//平面A1EF，于是B1C1//l， 　　　 在△A1B1C1中，A1N=，∴A1M⊥l，A1N⊥l， 　　　 即∠MA1N为所求二面角的平面角， 　　 ∵A1M⊥平面B1BCC1，∴A1­M⊥MN，∴cos∠NA1M=， 　　　 故所求二面角的大小为．

21．已知函数，记，，且． 　　　 (1)求数列的前项和； 　　　 (2)解关于的不等式； 　　　 (3)证明． 　　　 [解答](1)∵， 　　　 ， 　　　 …… 　　　 ， 　　　 ∴， 　　　 而， 　　　 ∴，∴， 　　　 ∴ ； 　　　 (2)当时，成立，故是不等式的一个解， 　　　 当时，成立，故不是不等式的解， 　　　 当时，成立，故也不是不等式的解， 　　　 当，时，∵， 　　　 ∴故，故，都是不等式的解， 　　　 综合知所求的解集为，且； 　　　 (3)∵， 　　　 且由(2)知， 　　　 ∴．