九、直线、平面、简单几何体参考答案

1、D；2、C；3、B；4、D；5、；6、B；7、A；8、；9、D；10、；

11、D；12、

13. (I)证：三棱柱中， 又平面，

且平面，平面　　　　

　　　 (II)证：三棱柱中，中

　　 　　　　　　是等腰三角形，

　　　 　　　　E是等腰底边的中点，

　　　 　　　　又依条件知，且

　　 　　　　　由①，②，③得平面EDB

　　　 (III)解：平面，且不平行，

　　　 　　　　　故延长，ED后必相交，设交点为E，连接EF，如下图

　　　 　　　　　是所求的二面角，依条件易证明

　　　 　　　　　为中点，A为中点，

　　 　　　　　　，， 即　

　　　 　　　　又平面EFB，，是所求的二面角的平面角

　　 　　　　　E为等腰直角三角形底边中点，

　　　 　　　　故所求的二面角的大小为　

14、解: 以A₁B₁所在直线为轴，A₁D₁所在直线为y轴，A₁A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。

(1)设E是BD的中点，∵P－ABCD是正四棱锥，，

　　　　 又， ,　 ，

∴　 　= (－2,2,0)，　= (1,1,2)，

　　　 ∵　　　 .=0，∴　　　　　 ⊥，即　。

(2)设平面PAD的法向量是m = (x,y,z)， ∵= (0,2,0) ，　= (1,1,2) ，

　　　 ∴　　　 　Þ 　Þ ，

取得m = (－2,0,1)，∴cos<m,n> = 　= － ，

。

15．解：如图所示，建立空间直角坐标系，是底面的中心，∥，∥．

则有关点的坐标为，，．

∵是的中点，是的重心，

∴它们的坐标为，．

(1)．

∴、两点间的距离为．

(2)，，设、的夹角为，，

∴．

∴异面直线、所成角的余弦值为．

(3)是的中点，可以证明直线是直线在平面上的射影．

故与所成角就是与平面所成的角．点的坐标为(0，2，0)

∴=(0，2，0)，=(0，，-1)．

设、的夹角为，则．

∴与平面所成的角为．

16、(I)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，DA⊥AB，∵A点移动到了P点

　　　 　　　∴PD⊥PB，又∵P点在平面BCD上的射影在CD上，∴过P点作PF⊥CD

　　　 　　　∴PF⊥面BCD，∴BC⊥面PCD，∴BC⊥PD，∴PD⊥面PBC， ∴PD⊥PC

　　 (II)解：∵PF⊥面BCD， ∴过点F作FE⊥BD，连结PE

　　　 　　　∴∠PEF为二面角P-BD-C的平面角，∵PD⊥PC，∴△CPD为Rt△

　　 　　　　，　

　 　　　　　又∵在中，，∴PE＝3

　 　　　　　，

　　 (III)解：过F点作FG⊥PE，由(2)可知FG⊥面PBD，连结GD

　　　 　　　　　∴∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角

　　　 　　　　　∵在中，，∴DF＝2

　　　 　　　　　∵在中，，，

， 　

17、解：(I)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系(图略).

　　　　 设PA=a，则A(0，0，0)，B(2，0，0)C(2，2，0)，D(0，2，0)P(0，0，a)，

M(0，1，0)，N(2，1，0).　

∴MN⊥平面PAD. ∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.

(II)平面PBA的一个法向量为.

∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为　

即　

(III)由(I)，MN⊥平面PAD，知PM⊥MN，MQ⊥MN，

∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角.

而

18、解：(1)延长到使，连结、，是中点，所以．

故直线和所成的锐角(或直角)就是和所成的角…2分

∵平面　∴，又．　∴．

是中点，故．所以，又，因此为等边三角形．所以　∴直线和所成的角是　

(2)设到平面的距离为，则

∵，，　∴

(3)由上可知，，又是中点，故，

由平面平面，∴应平面

故，即应为过的的垂线和的交点．

由，所以的中垂线过点，即为点．

19、解：(I)证明：在△ABC中，AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，

又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC　　　　　　　　　　　 ∴CM⊥平面ABB₁A₁，

而CM平面CMD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁

(II)解法一

　　　　　　 　 过M作ME⊥BD于E，连结CE，

∵CM⊥平面ABB₁A₁

∴ME是CE在平面ABB₁A₁上的射影，∴CE⊥BD，　　　　　　　 所以∠CEM是二面角的平面角．

　　　　　　 由＝1，则AB＝，，

　　　　　　 取MB的中点F，则BF＝，

∴

　　　　　　 由得：　

　　　　　　 在Rt△CME中，tan∠CEM＝

　　　　　　 所以∠CEM＝　

　　　　　　 即二面角的大小是　　　　　　　　

解法二(向量法)：以C为原点，分别以CA 、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，令＝1，

则C(0，0，0)，A(1，0，0)，A₁(1，0，1)，

B(0，1，0)，B₁(0，1，1)，M(，，0)，

D(，，1)，C₁(0，0，1)，

∴，．

设平面CBD的法向量为，则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 取，则，∴．

而平面MBD的法向量是＝(，，0)，

∴cos<，>＝，即<，>＝

如图可知，二面角为锐角，∴二面角的大小为