9．.(全国II)如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝
(A)2∶1
(B)3∶1 (C)3∶2
(D)4∶3
解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为
,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A
[典型考例]
例1．(P75例3) 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱 (I)证明平面 (II)设证明平面
(19)本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。
(I)证明：取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中，
又
则连结EM，于是
四边形EFOM为平行四边形。
又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。
(II)证明：连结FM。由(I)和已知条件，在等边中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而。
平面EOM，从而
而所以平面
例2． 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB=5点D是AB的中点， (I)求证：AC⊥BC1； (II)求证：AC 1//平面CDB1； (III)设BD1的中点为F，求三棱锥B1-BEF的体积
证：(I)直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
(II)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；
例2．已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角
(Ⅰ)证明：AC⊥BO1；
(Ⅱ)求点O1到平面AOC的距离。
(III)求四面体O1-ACO的体积。
(I)证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，
B(0，3，0)，C(0，1，)O1(0，0，).
从而
所以AC⊥BO1.
例3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求四面体B-AED的体积。
解：(1)由平面可得PA^AC
又，所以AC^平面PAB，所以
(2)如图，连BD交AC于点O，连EO，则
EO是△PDB的中位线，\EOPB
\PB平面
(3)如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，\EFPA又平面，\EF^平面
同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135°.
例4．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点。(Ⅰ)当B1M⊥AN时，求CN的长度；(Ⅱ)若CN=时，求点B1到平面AMN的距离。
与平面
，有以下四个命题：①若
且
，则
；②若
且
，则
；③若
且
且