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[例8]
(07年北京) 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长
为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下
底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
(I)求面积以
为自变量的函数式，并写出其定义域；
(II)求面积的最大值．
[解答](I)依题意，以的中点
为原点建立直角坐标系
(如图)，则点
的横坐标为．点的纵坐标
满足方程
，
解得，
，
所以，
，定义域为
．
(II)记
，
则，
．
令
，得
．
因为当
时，
；当
时，
，
所以
是
的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
[说明] 该题以椭圆为载体，以函数思想为灵魂，以不等式、导数、三角函数等为工具，非常自然地将解析几何与导数、函数、方程、不等式、三角函数等重要数学基础知识有机交汇融为一体，无矫揉造作之嫌，是近年来较为成功的试题之一．
[例9] (07年上海) 已知函数
，常数
．
(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在
上为增函数，求
的取值范围．
[解答] (1)当
时，
，
对任意
，
，
为偶函数．
当
时，
，
取
，得
，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)解法一：设
，
，
要使函数在上为增函数，必须
恒成立．
，即
恒成立．
又
，
．
的取值范围是
．
解法二：当时，，显然在
为增函数．
当
时，反比例函数
在为增函数，
在为增函数．
当
时，同解法一．
[说明] 本题考查了函数的性质问题，尤其是单调性的定义法证明更要引起注意.