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数 学 试 题 ( 理 科 2 )参考答案

一．选择题　　 A C B B　　 A B B C

二．填空题　　 ； ； ； ③④； ； ； 。

三．解答题

16．解：(Ⅰ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………2分

　　　 由题意知对任意实数x恒成立，

　　　 得，

………………………………………………………6分

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

　　　 由，解得

　　　 所以，的单调增区间为……………………12分

17．解：(Ⅰ)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.

　　　 　…………………………………………………………………4分

　　 (Ⅱ)由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.

　　　 若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.　　　

　　　 若

　　 (或用求得). ………………………………………………8分

　　　 的分布列为：

ξ	2	3	4
p

　　　 　………………………………………………12分

18．证明：(1)当点为的中点时，与平面平行.

∵在中，、分别为、的中点

∴∥　　 又平面，而平面　

　　　 ∴∥平面.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

(2)证明(略证)：易证平面，又是在平面内的射影，

，∴.　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……………………8分

　(3)∵与平面所成的角是，∴，，.

过作于，连，则.　　　　 …………………10分

易知：，，设，则，，

在中，，

得.　　　　　　　　　　　　　　　　 ………14分

解法二:(向量法)(1)同解法一

(2)建立图示空间直角坐标系，则，，，.

设，则，　　　　　

∴　　 (本小题4分)

(3)设平面的法向量为，由，

得：，依题意，

∴，得.　　　　　　　　　　 (本小题6分)

19．解：依题意有而

故　得　 从而。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

(1)　　　　　　 若，即，则当时，；

当时，；当时，；

从而的单调增区间为；单调减区间为

(2)　　　　　　 若，即，同上可得，

的单调增区间为；单调减区间为

20．解：(Ⅰ)

　　　 ∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.

　　　 由

　　　 以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.

　　　 ∴所求点P的轨迹方程为………………………………………………6分

　　 (说明：其它建系方式相应给分)

　　 (Ⅱ)G为椭圆的左焦点.

　　　 又

　　　 由题意，(否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾)

　　　

　　　 又∵点P在椭圆上，

　　　 又

　　　 　……………………………………………………14分

21．解：(Ⅰ)令，

　　　 则无穷数列{a_n}可由a₁ = 1，给出.

　　　 显然，该数列满足，且

　　　 　……………………6分

　　 (Ⅱ)

　　　　　　　　　 　………………………………………………8分

　　　　　　 又

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　 　　…………………………………………………………………14分