数学试题参考答案和评分标准(文科1)

一、选择题(每题5分，共40分)

二、填空题(每题5分，共30分)

11．＜＜　　　　12．　　　　13．

14．(或为正整数)注：填以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分．

三、解答题(满分80分，解答应写出文字说明和演算步骤).

15. 解：∵，　……………………………………………4分

　　∴当即时， ……………………………………………6分

取得最大值2.　……………………………………………………………………………………………8分

此时，，故，………………………………………11分

∴和的夹角是0.　 …………………………………………………………………………………………12分

　　　 注：也可以由和同向来说明.

16．解：(1) 证明：连结AF，

∵在矩形ABCD中，，F是线段BC的中点，

∴AF⊥FD.　…………………………………………………………………3分

又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD.　 …………………………………4分

∴平面PAF⊥FD. …………………………………………………………5分

∴PF⊥FD.　…………………………………………………………………6分

(2) 过E作EH∥FD交AD于H，则EH∥平面PFD且.　 …………9分

再过H作HG∥DP交PA于G，则HG∥平面PFD且.　 ……………11分

∴平面EHG∥平面PFD.

∴EG∥平面PFD.　 ……………………………………………………………………………………………13分

从而满足的点G为所找.　 ………………………………………………………………14分

注：1. 也可以延长DF、AB交于R，然后找EG∥PR进行处理)

2. 本题也可用向量法解.

17．解：将圆C的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为(0 , 4)，半径为2.

(1) 若直线与圆C相切，则有.　　 ………………………………………………3分

解得.　 ……………………………………………………………………………………………………5分

(2) 解法一：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得

　　　　……………………………………………………………………………8分

解得. ………………………………………………………………………………………………10分

(解法二：联立方程并消去，得

.

设此方程的两根分别为、，则用即可求出a.)

∴直线的方程是和.　………………………………………12分

18．解：(1)由，令，则，又，所以.

由，得.

由，得.　……………………………………………………………………3分

(2)方法一：当时，由，可得.

即.　 …………………………………………………………………………………………………………………………5分

所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.　 ……………6分

方法二：由(1)归纳可得，，它适合.

所以.　 ……………………………………………………………………………………………………………5分

注：方法二扣1分.

(3)数列为等差数列，公差,可得. ……………8分

从而，………………………………………………9分

∴　 ……………10分

∴.　 …………………11分

∴.　　　 ……………………………………………………………14分

19．解：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是.　 ………………………………………………………………………………………………………3分

(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是

、.　 ……………………………………………5分

可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. 　　…………………………6分

(3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是、.

根据所给的数据，可以计算出，

.　　 ……………………………………………………10分

所以y与x和z与x的回归方程分别是

、.　 …………………………………………………………11分

又y与x、z与x的相关指数是、.　……13分

故回归模型比回归模型的拟合的效果好. …14分

20．解：(1) 易知，函数的定义域为.　 ……………………………………………1分

当时，. ……………………………………………2分

当x变化时，和的值的变化情况如下表：　 ……………………………………4分

x	(0,1)	1	(1，+∞)
	-	0	+
	递减	极小值	递增

由上表可知，函数的单调递减区间是(0,1)、单调递增区间是(1，+∞)、极小值是. ……………………………………………………………………………………………………………7分

(2) 由，得. ………………………………8分

又函数为上单调函数，

① 若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立. ………11分

又在上为减函数，.　 ……………………12分

所以.

② 若函数为上的单调减函数，则在上恒成立，这是不可能的.　　 ……………………………………………………………………………………………………………………13分

综上，的取值范围为.　 ………………………………………………………………………14分